Ivar Ekeland

Nous sommes aujourd'hui exactement dans la position des gens qui ont découvert le microscope de Leeuwenhoek à la fin du XVIIe siècle. Mettez une goutte d'eau dans le microscope : vous observerez des tas de choses dont vous n'aviez pas idée. Utilisez votre ordinateur: vous réaliserez des calculs que vous ne pouviez pas faire avec du papier et un crayon et vous observerez là aussi un tas de choses dont vous n'aviez pas idée !
[...]
[L'ordinateur] est un instrument d'exploration.

Ivar Ekeland (Hasard, chaos et mathématiques)

[...] Ce faisant, je fais appel à l'une des plus vieilles croyances de l'humanité : l'avenir doit reproduire le passé. Ce qui s'est déjà produit se reproduira, et ce qui a été fréquent hier le sera demain. Voilà bien pourquoi nos ancêtres attendaient avec une certaine confiance que le soleil se lève après s'être couché : s'étant déjà levé un grand nombre de fois, il ne manquerait pas de le faire une fois encore.

Le scientifique, lui, vit dans un monde où il n'y a de certitude que provisoire. Son univers est un cimetière d'idées fausses et de théories dépassées, et la théorie même qu'il a adoptée n'est là que par provision, dans l'attente qu'une meilleure théorie vienne la supplanter.

Les Nombres impairs sont heureux car ils s'en vont en voyage ! Les Nombres pairs aimeraient bien y aller eux aussi, mais ils n'osent pas affronter la colère de M. Hilbert, alors ils se contentent d'attendre la prochaine fois. Les Nombres impairs vont donc rendre visite aux Lettres et Mme Hilbert les accompagne. M. Hilbert qui n'aime pas voyager, reste dans l'hôtel avec les Nombres pairs et le chat. Maintenant que les Nombres impairs sont partis, l'hôtel est très calme, ce qui rend le chat très heureux. Il s'enroule près de l'âtre, sa queue autour de lui, et il pense : " La moitié des chambres sont occupées... donc l'hôtel est à moitié plein ou bien à moitié vide ? " Mais il décide que cela ne fait aucune différence et va directement se coucher.

Pourquoi les météorologistes ont-ils tant de mal à prévoir le temps avec quelque certitude ? Pourquoi les chutes de pluie, les tempêtes elles-mêmes nous semblent-elles arriver au hasard, de telle sorte que bien des gens trouvent naturel de prier pour avoir la pluie ou le beau temps, alors qu'ils trouveraient ridicule de demander une éclipse par une prière ? (Henri Poincaré expliquant la complexité des calculs liés à la météorologie, dans 'Science et Méthode".)

Les Nombres connaissent quatre jeux : l'addition, la soustraction, la multiplication et la division.Tous les Nombres aiment jouer aux additions, aux soustractions et aux multiplications mais ils n'aiment pas le jeu des divisions, car tous ne peuvent pas y participer.

- Je crains que notre gène de l'humour ne soit récessif.

- Ouais. On a du plomb dans l'allèle.

p 76 77 un cas aléatoire dans la théorie newtonienne ( système de deux étoiles de masses égales en orbite autour de leur centre de gravité avec un astéroïde qui se déplace en aller retours sur une droite perpendiculaire au plan des orbites des étoiles et passant par le centre de gravité des étoiles. L'aspect aléatoire vient du fait que l'on a une information exacte mais incomplète. Dans ce cas, la connaissance de la vitesse de l'astéroïde au moment où il passe par le centre de gravité permettrait de calculer et prévoir.

C'est toute cette histoire que je voudrais raconter ici. Le fil part de la physique, fait un détour par la philosophie, puis revient vers les mathématiques. Il passe ensuite à la biologie et se termine en économie. Pour formuler le principe demoindre action, il faut savoir ce qu'est le temps.

Si j'ai bien compris, pour prévoir le temps qu'il fera dans un an, par exemple, il faudrait des précisions de mesure à tout jamais inaccessibles.

De petites causes, si petites qu'elles échappent à l'observation, comme le battement d'ailes d'un papillon, peuvent avoir de grands effets comme une tornade. Sauf que ce n'est pas toujours le cas, que cela peut prendre du temps ou que cela peut être contrarié par des tas d'autres causes, comme le battement d'ailes d'un autre papillon…

Tu as déjà entendu parler de l'angoisse du gardien de but au moment du penalty ? Le ballon va si vite qu'il doit décider avant le tir de quel côté il va plonger. S'il part du mauvais côté, c'est foutu. S'il part du bon, il a une chance de l'arrêter.

(1) On commençait par tirer au sort 9 personnes parmi les 2000 sénateurs. (2) Ces 9 personnes en élisaient 40 parmi les autres sénateurs. Pour être élu, il fallait 7 voix sur 9. (3) Sur ces 40, on en tirait 12 au sort. (4) Ces 12 en élisaient 25. (5) Parmi ces 25, on en tirait 9 au sort. (6) Ces 9 en élisaient 45. (7) On les réduisait à 11 par tirage au sort. (8) Ces 11 en élisaient 41. (9) C'est ce comité qui élisait le doge.

Mais ce hasard existe-t-il vraiment ? Tout événement à sa ou ses causes. Et s'il existe peut le cerner, le mesurer, le contrôler, le prédire ? Peut-On même l'utiliser ? Voire le créer ? Le hasard a-t-il une logique ? Est-il rationnel ? Est-il en fait soluble dans les mathématiques ?

Nous sommes les survivants d'un impitoyable processus de sélection, qui choisit dans l'infinie variété des futurs possibles celui qui finalement se réalisera.

p 141 Engranger dans l'inconscient collectif des formes où l'on pourra reconnaître des résultats classiques comme des situations nouvelles, établissant ainsi entre des phénomènes apparemment très éloignés dans le champ de l'expérience des relations imprévues et d'autant plus exaltantes; voilà ce que propose Thom. L'entreprise est peut-être folle, et les sept catastrophes élémentaires forment sans doute un répertoire beaucoup trop limité. Mais elle mérite d'être tentée, et édifie un point de vue original sur le temps, à mi-chemin entre la géométrie souveraine et statique de Kepler et Newton, et l'informe et mouvant chaos de Poincaré.

L'espace-temps einsteinien comme continuité de la figure du temps newtonien:

p 131-132 La tentative est la même; réduction du temps à l'espace et substitution au mouvement d'une géométrie. Ce sont des univers clos régis par un déterminisme strict, où l'écoulement du temps n'apporte rien de nouveau, rien que l'on ne sache déjà, et que l'on aurait pu prédire de toute éternité.

Catastrophe:
p. 110 " c'est la disparition d'un équilibre stable et l'établissement d'un autre consécutif à une modification continue du potentiel."

p 21 L'obsession de certaines images, l'élan conquérant qu'elle suscitent au moment de leur jeunesse et l'obstruction qu'elles font aux progrès ultérieurs quand elles ont vieillis sont le thème principal de ce livre.

Nous allons vers une situation où les mathématiciens n'auront plus le monopole des mathématiques, mais où économistes, managers et marchands feront tous des mathématiques comme Monsieur Jourdain faisait de la prose.