Le Dernier Théorème de Fermat

J'apprécie particulièrement les ouvrages de Simon Singh. Très peu de blabla, beaucoup de faits, on sent un gros travail préparatoire, de nombreuses heures d'interviews auprès de personnes bien informées sur le sujet abordé.

Le "dernier" théorème de Fermat est un énoncé qui a fasciné les mathématiciens pendant plusieurs siècles, avant d'être finalement démontré par Andrew Wiles. Cet ouvrage revient sur les différentes péripéties et les grands noms des mathématiques qui ont tenté de s'attaquer à cet Annapurna algébrique ^^. C'est très intéressant de bout en bout :).

Il est impossible de trouver des nombres entiers x, y et z pour satisfaire à l'équation x³ + y³ = z³. Et on peut remplacer 3 par n'importe quelle puissance supérieure à 2, la proposition tient toujours. Non content d'énoncer une conjecture si simple à comprendre, Fermat ajoute une petite provocation : il en a trouvé une preuve « merveilleuse », dit-il, que la marge ne peut malheureusement contenir.

La communauté des mathématiciens se cassera les dents pour établir cette preuve « merveilleuse » pendant des siècles, et ne découvrira une preuve que 350 ans plus tard, utilisant des mathématiques tellement complexes que seule une poignée de professionnels pouvait sans doute la comprendre en entier.

J'avais déjà lu un livre de Simon Singh sur la cryptographie. le fait qu'elle s'applique au domaine de la guerre rendait les découvertes haletantes. L'auteur essaie d'appliquer la même recette à ce théorème de Fermat, mais il faut reconnaître que ça fonctionne moins bien : les découvertes s'étalent sur des siècles, sont l'oeuvre d'une poignée de savants qui travaillent dans l'ombre, et ne sont pas vraiment compréhensibles pour le non-initié. Simon Singh fait un excellent travail de vulgarisation cependant : il m'a compris de comprendre les enjeux, et pourquoi ce théorème était devenu si important pour la communauté (mais pas les démonstrations en elle-mêmes).

Enfin, il y a beaucoup de tours et de détours. le théorème de Fermat n'offre sans doute pas assez de matière pour faire un livre complet sur lui seul. On passe donc par de longues digressions sur certains savants de l'Antiquité ou du Moyen Âge, des présentations d'autres domaines (probabilités, etc.) pas en lien direct avec le sujet.

Ce livre est donc plutôt une histoire choisie des mathématiques. On comprend à quel point le travail scientifique est collectif, et l'instance du public pour distinguer des « génies » totalement à côté de la plaque. En se concentrant sur l'histoire et en évitant autant que possible les équations, Simon Singh pourrait même intéresser les lecteurs allergiques à cette matière.

Simon Singh relève avec cet ouvrage la gageure qui consiste à expliquer les maths, et plus précisément la théorie des nombres, à un lecteur lambda n'ayant aucune connaissance dans ce domaine. Même s'il entreprend de nous faire considérer des concepts vraiment obscurs pour des néophytes, tels les nombres imaginaires, les fonctions elliptiques, les formes modulaires ou les groupes de Galois, il ne perd jamais son lecteur de vue et reste compréhensible, quitte à décevoir les initiés qui cherchaient des informations plus précises sur la preuve de Wiles. On pourrait également lui reprocher un léger excès d'enthousiasme, calqué sur celui du mathématicien anglais, pour le théorème de Fermat qu'il n'hésite pas à qualifier de "Graal du monde mathématique", alors qu'il ne concerne somme toute que la théorie des nombres. Néanmoins, son approche, à la fois historique, scientifique, psychologique et même parfois dramatique a le mérite d'être originale et appréciable. Les chapitres portant sur la cryptographie (n'oublions pas que Singh est aussi l'auteur de l'excellent ouvrage Histoire des codes secrets) ou les jeux mathématiques sont remplis d'humour et rigoureusement exacts, et son parti pris de nous livrer une histoire de la théorie des nombres, de l'Antiquité à nos jours, est extrêmement instructif et tout à fait remarquable. C'est un ouvrage passionnant, qui captivera même les plus réfractaires aux mathématiques, car c'est avant tout une épopée humaine qui nous concerne tous : la recherche de la vérité envers et contre tout, à travers les siècles et les progrès de la science.

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Très belle histoire des mathématiques de l'antiquité à nos jours. L'auteur saisit de façon habile l'astuce pédagogique du Dernier théorème. Cette "sirène mathématique, ..., qui attirait les génies pour mieux anéantir leurs espoirs" est un fil rouge qui nous guide de façon palpitante à travers des anecdotes, des concepts très bien expliqués dans le labyrinthe des mathématiques. L'auteur réussit à donner une dimension à la fois technique et sociétale à son récit et, par là même, à maintenir l'attention du lecteur de bout en bout.

A titre personnel, j'ai eu l'agréable surprise d'apprendre que Luc ILLUSIE avait été l'un des referee du premier manuscrit d'Andrew WILES. En effet, ce grand mathématicien français figure aux premières places des enseignants qui ont profondément influencé mes choix.

Très réussi.
Bonne lecture !

Simon Singh réalise l'exploit de nous proposer un livre sur les mathématiques passionnant et en plus de nous faire aimer le sujet. A travers la quête pour résoudre ce fameux théorème, on explore la théorie des nombres et, si le sujet pourrait sembler trop spécifique, trop compliqué pour un total néophyte, on se prend rapidement au jeu et on arrive même à y comprendre quelque chose grâce aux nombreuses explications plutôt claires. Plus qu'une simple démonstration du théorème, c'est une histoire des mathématiques et des hommes qui l'ont façonné qui se laisse découvrir avec plaisir.

Livre passionnant pour qui aime les chiffres et leurs mystères

Un de meilleurs livres scientifiques qu'il m'ait été donné de lire. Félicitations à l'auteur qui a su susciter le suspense sur une histoire que je connaissais déjà. Il entre dans les détails mathématiques tout en restant compréhensible. Chapeau !
Pour résumer la chose : Fermat livre en 1670 une conjecture très facile à comprendre dans un de ses livres l'Arithmética en précisant dans la marge :
Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet.
Traduction : J'ai une démonstration véritablement merveilleuse de cette proposition, que cette marge est trop étroite pour contenir.
Singh nous apprend que Fermat était doué pour inventer mais plutôt flemmard pour les démonstrations. On peut donc être dubitatif sur son affirmation. Pendant plusieurs siècles les plus grands mathématiciens se sont attelés à la tâche, en vain. Wiles a réussi en 1994.
Mais l'histoire n'est peut-être pas finie : Wiles a vite compris qu'il ne pourrait élaborer sa démonstration à partir des connaissances mathématiques de l'époque de Fermat. Il a dû inventer des méthodes nouvelles pour y arriver. Il a en fait démontré la conjecture Taniyama-Shimura qui démontrait en même temps et par voie de conséquence la conjecture de Fermat mais n'y aurait-il pas un mathématicien qui démontrerait directement cette dernière ?
On peut se demander à quoi servent de telles démonstrations puisque le théorème de Fermat dont on était à peu près sûr qu'elle était vraie ne sert à rien de plus une fois démontré. Et bien comme beaucoup d'entreprises humaines c'est le chemin qui compte et non le but. Comme dirait St Jean, « que celui qui a des oreilles entende ! »