Des mots et des maths

Quels rapports cachés entre les mots choisis par les mathématiciens pour désigner leurs projections mentales et leurs avatars communs ? Pourquoi tel mot plutôt que tel autre ? Que cela nous révèle-t-il de la pensée mathématique ? Que cela exprime-t-il des couches profondes de nos paroles ?

Les professeurs de maths emploient volontiers le mot "trivial" pour exprimer qu'une propriété découle immédiatement des définitions ou d'un énoncé fondamental. Censé renvoyer à la banalité et à l'évidence, ce terme sur lequel tout le monde devrait s'accorder sans peine est ainsi devenu la terreur des étudiants. Si "c'est trivial", soit ils peuvent le confirmer et n'ont aucune gloire à en tirer, soit ils en sont incapables et s'en trouvent couverts de honte, précisément en raison du caractère d'évidence qui leur échappe.
L'affirmation de trivialité de la part de l'enseignant met donc l'étudiant dans une situation déconcertante en le piégeant entre la perspective de n'avoir rien à gagner et celle d'avoir tout à perdre. Autant le concept est utile pour le mathématicien, autant il est dangereux pour le pédagogue.
Au chapitre de l'utilité, mentionnons à ce stade un usage et une anecdote.
L'usage concerne la désignation de certains éléments d'une structure. On parle ainsi d'un sous-ensemble non trivial pour signifier qu'il n'est ni vide ni égal à l'ensemble tout entier. Une relation de dépendance entre objets mathématiques exprime qu'une certaine combinaison de ces objets est nulle. Il est alors essentiel de spécifier que celle relation est non triviale, autrement dit qu'elle signifie autre chose que 0=0, la trivialité des trivialités.
L'anecdote, qui circule dans la tradition orale sans être clairement authentifiée, concerne un mathématicien célèbre, peut-être le grand Hardy, qui, lors d'un cours magistral, écrit une longue formule au tableau noir de l’amphithéâtre et la qualifie de triviale. Il poursuit un instant sur sa lancée, mais, après quelques minutes, s'interrompt brutalement, faisant passer sa craie d'une main à l'autre en contemplant la formule.
Après un court moment de réflexion, il opine du chef et rassure son auditoire: "Oui, cette formule est bien triviale."Il continue alors méthodiquement son exposé, mais s'interrompt à nouveau un quart d'heure plus tard en fixant le tableau. Cette fois, les étudiants ont le temps de tailler leurs crayons et de prendre des nouvelles de leurs week-ends avant que le professeur ne confirme une seconde fois : "Pas de problème, cette formule est effectivement triviale."
Le cours se poursuit alors sans encombre jusqu'au moment où l'enseignant doit faire de la place sur le tableau et entreprend d'effacer la formule. L'éponge en main, il hésite, puis renonce. Laissant la formule suspecte au tableau, il s'excuse alors auprès de ses disciples et pas dans la petite pièce réservée aux professeurs, attenant à l'amphithéâtre. Il y reste une bonne demi-heure. Les étudiants patientent sagement. Il réapparaît enfin, et tout en effaçant la formule d'un bras ferme, déclare : "Comme je l'ai précisé précédemment, cette formule est bien triviale. Passons à la suite."

Les mathématiques ont pour objet de structurer non le monde, mais la pensée humaine sur le monde.

« Jusqu’à combien sais-tu compter ? » demandent les enfants avant d’apprendre, presque déçus, qu’il n’y a aucune limite. Au début, ils n’y croient pas tout à fait. Ensuite, ils continuent à se méfier. Peut-être toute leur vie.

Bien que, comme l’affirmait Hilbert, il soit possible, sans dommage pour la rigueur, de remplacer dans l’axiomatique de la géométrie les mots « point », « droite » et « plan » par « chaise », « table » et « chope de bière », il est probable qu’une telle terminologie handicaperait significativement le développement ultérieur de la théorie. Si l’on peut concevoir une mathématique indifférente aux connotations de ses termes, il y a fort à parier que les mathématiciens y demeureront sensibles longtemps encore.

Au chapitre de la création terminologique, il faut distinguer entre les néologismes de forme, correspondant à la fabrication d’un mot nouveau par dérivation, composition ou analogie, et les néologismes de sens, par lesquels un mot existant reçoit une acception nouvelle. Lorsque les mathématiques empruntent un terme au langage courant, il s’agit évidemment de la deuxième éventualité, même si le nouveau sens n’est destiné qu’à une sphère d’usage restreint.

... dis-moi comment tu varies, je te dirai qui tu es.