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EAN : 9782267002355
Christian Bourgois Editeur (01/01/1980)
3.5/5   5 notes
Résumé :
L'auteur analyse la constitution des modèles d'explication scientifique, la théorie des catastrophes. Les questions de sémantique qui se posent sont ensuite étudiées, ainsi que les problèmes de topologie. L'importance même des questions liées aux questions soulevées dans ce livre en marque l'intérêt.
René Thom nous présente une étude très précise et documentée sur la réalité et les limites de l'utilisation de cet outil.
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Critiques, Analyses et Avis (1) Ajouter une critique
« Modèles Mathématiques de la Morphogénèse » du mathématicien français René Thom (1980, Christian Bourgois, 320 p.).
René Thom (1923-2002) est un jurassien d'origine, de Montbéliard en particulier, qui passe par l'Ecole Normale Supérieure, avant d'obtenir son doctorat en 1951 à Paris sous la direction, et la canalisation, d'Henri Cartan. Il sera professeur à la Faculté des Sciences de Strasbourg de 1954 à 1963. Recevant un prix Medal Fields en 1958 sur la topologie différentielle, avant d'intégrer l'« Institut des Hautes Etudes Scientifiques » (IHES) de Bures-sur-Yvette de 1963 à 1990. Il y est en bonne compagnie, puisqu'il y a là Alexandre Grothendieck, puis Pierre Deligne et Alain Connes, tous Medal Fields. C'est vraiment l'âge d'or de ce centre des sciences. Pour ce qui concerne Grothendieck, j'ai récemment relu et commenté les deux tomes de son ouvrage « Récoltes et Semailles » un pavé de 2000 pages (2023, Gallimard, 1506 p.). A vrai dire, je profite du centenaire de sa naissance pour réactualiser ces fiches de lecture.
Son premier ouvrage « Stabilité structurelle et morphogenèse » est le premier, je crois, destiné au grand public sur la théorie des catastrophes (1977, Interéditions, 382 p.). Il a été réédité plusieurs fois par la suite.
L'ouvrage actuel fournit des modèles d'explications scientifiques de la théorie des catastrophes. Il aborde les questions de sémantique, ou plus simplement la signification des signes, spécifiquement dans le langage. Tout cela à partir de problèmes de topologie. L'intérêt de l'ouvrage est de présenter une étude précise et très documentée sur la réalité et les limites de l'utilisation de ces concepts. « L'idée essentielle de notre théorie, à savoir qu'une certaine compréhension des processus morphogénétiques est possible sans avoir recours aux propriétés spéciales au substrat des formes, ou à la nature des forces agissantes, pourra sembler difficile à admettre, surtout de la part d'expérimentateurs habitués à tailler dans le vif, et continuellement en lutte avec une réalité qui leur résiste ».
L'idée part en partie d'un ouvrage de Alan Turing intitulé « The Chemical Basis of Morphogenesis » publié dans « Philosophical Transactions of the Royal Society B Biological Sciences » (1952, Phil. Trans. Royal Soc. B237, 37-72). C'est le A.M. Turing (1912-1954) mathématicien britannique, auteur de travaux qui fondent scientifiquement la cryptographie. C'est aussi un des pionniers de l'Intelligence artificielle. Il se suicide en 1954 pour éviter d'être poursuivi pour homosexualité. Ila cependant été anobli par la reine.
Dans cet article, Turing décrit comment des motifs peuvent apparaitre dans la nature à partir d'un état homogène et uniforme ? Ces motifs (patterns) incluent des rayures et des spirales, comme les raies du zèbre. Cela suppose des réactions chimiques appelées de « réaction-diffusion ». On pourra lire à ce sujet l'épais ouvrage de James d'Murray « Mathematical Biology » (2007, Springer, 781 p.) qui explique pourquoi la moufette a un corps noir avec une queue et un dos blanc. le même bicolorisme était observé chez le ramoneur savoyard, mais la différence résidait surtout en ce qu'il portait souvent une petite échelle.
Cette physico-chimie de réaction-diffusion est basée sur une interaction entre la diffusion d'un pigment et le taux de réaction chimique, et quoiqu'elle s'applique facilement à des géométries simples, elle est plus complexe à simuler des patterns irréguliers. C'est là que la théorie de la morphogenèse de René Thom intervient. « La science naît du jour où des erreurs, des échecs, des surprises désagréables, nous poussent à regarder le réel de plus près ».
Le traitement mathématique de ce problème s'applique à de nombreux autres domaines comme l'hydrodynamique, la cristallographie, la géophysique, ou la dynamique des populations, pour n'en citer que ces exemples. Cela reflète l'existence de « classes d'universalité » des formes et de leur apparition dans les systèmes naturels.
Cependant, certaines formes, comme la structure alvéolaire de la cire d'abeille dans les ruches, procède de raisons différentes. En effet, dans ce cas, la structure hexagonale est celle qui nécessite le moins de cire pour produire le maximum d'espace libre. Il suffit de calculer les périmètres respectifs des triangles, carrés et hexagones et de constater que les abeilles construisent à l'économie.
René Thom identifie et individualise différents types de catastrophes élémentaires, suivant le nombre de paramètres impliqués, et selon le degré de la courbe qui contrôle le potentiel d'un système. Ce dernier est facile à conceptualiser. Une courbe du second degré (n = 2), par exemple une parabole, admet un seul point minimum ou maximum, selon sa concavité. Pour simplifier, on choisira une courbe à concavité vers le bas. Ce point minimum va représenter le point se stabilité du système. Par contre, si on considère une courbe de degré quatre (n = 4), elle possède deux points minimum, séparés par un maximum. Il faut imaginer une bille roulant sur cette courbe. le maximum est un point instable. Par contre, les deux minima peuvent être considérés comme stables, à condition que l'on ne vienne pas perturber la bille.
Passant de la courbe unidimensionnelle V = f(x) à la surface V = f(x, y), on obtient ainsi les sept formes de « catastrophes » possibles, suivant leur degré et le nombre de paramètres que sont les coefficients des équations, qui contrôlent les minima des courbes. On a ainsi le pli, la plus simple des formes en degré 3 à un seul paramètre. Si deux paramètres existent, et que la courbe est de degré 4, il s'agit d'une fronce. Pour trois paramètres en entrée, et une variable, il s'agit de la queue d'aronde. Pour deux variables, c'est un ombilic hyperbolique (vague) ou elliptique (poil) selon son comportement à l'infini. Enfin, pour quatre paramètres on aura un papillon si c'est une courbe, à une variable ou un champignon, ombilic parabolique si c'est une surface. Avec plus de paramètres, d'autres formes de catastrophes distinctes apparaissent.
On constate donc de suite que le nombre de variables (x) ou (x, y) va déterminer si c'est une courbe ou une surface. Par contre, le nombre de paramètres joue sur le nombre et la position des points d'équilibre ou d'instabilité, suivant la concavité des courbes.
Et c'est là que tout est parti en catastrophe, c'est le cas de le dire. La théorie de René Thom est essentiellement une description mathématique d'un passage entre deux situations, c'est la description d‘une bifurcation dynamique. le système passe brutalement d'un état à un autre, c'est la notion de catastrophe. Par contre, dire que c'est un pli, une fronce ou un papillon, n'a aucun rapport avec l'évolution des paramètres. Ou du moins leur mode d'évolution. Un pli, par exemple, n'implique pas que le système se replie sur lui-même. Ce sont les paramètres qui décrivent topologiquement un pli, et non le système.
Je me souviens d'une conférence donnée par René Thom à Jussieu sur le rapport entre « Tectonique des plaques et théorie des catastrophes », publiée dans « Astérisque » (1978, #59-60, 205-231). L'idée, dans l'esprit de Claude Allègre, qui l'invitait, était d'exposer une vision « platonicienne », par opposition à une vision « réductionniste » qui vise à une explication ultime de la forme comme agrégation d'éléments primitifs aux propriétés supposées connues. Après une discussion sur la rigidité des plaques, qui, on le sait depuis, est toute relative, car elles se déforment avec le temps, viscosité lente, mais efficace, il en arrive à la théorie des catastrophes, avec des points de singularité, c'est-à-dire des discontinuités, dans les diagrammes de vitesse des différents points d'une plaque. Cette variété mathématique et/ou physique se caractérise par sa non-définition en ce point, soit par son impossibilité à la définir (ex. la fonction 1/x pour x = 0), ou à la caractériser (ex. un point de fronce). En littérature, on trouve le terme dans l'excellent premier roman de Sergio de la Pava « A Naked Singularity » (une singularité nue), roman policier traduit par Claro dans la collection Lot49 (2016, Cherche Midi, 850 p.) qui met en scène un brillant avocat qui organise un braquage, soit-disant non susceptible d'être inquiété par la police.
Puis, René Thom présente des exemples de catastrophes, au sens topologique des fonctions, décrivant des arêtes, avec des changements de vitesse brutaux le long de failles transformantes (par exemple celle de San Andreas, en Californie). Ou bien, des points triples, où plusieurs plaques se rencontrent. Ce qui en fait une approche originale du volcanisme, décrit comme instabilité de vitesse, et donc une zone de conflit entre compression et extension. Il est évident que la topologie d'un champ de vitesse est mal identifiée par rapport au champ de contraintes habituel. D'où une discussion houleuse entre le conférencier et son hôte.
Il se trouve que le vendredi suivant, je prenais mon train à Montparnasse pour rentrer chez moi à Nantes. Passant devant le parvis, j'ai aperçu René Thom à une terrasse. La table à côté étant libre, je me suis assis et lui ai reparlé de sa conférence de Jussieu. Il m'a expliqué très clairement, m'a envoyé par la suite un tiré à part de son article. Evidemment c'était une confusion entre la topologie du système et sa forme géométrique. le pli et la fronce caractérisaient le diagramme des paramètres et non pas la déformation du milieu.
De fait, la curiosité de René Thom pour la complexité provient de sa prime jeunesse et de sa passion pour les trains électriques. « J'ai certainement perdu beaucoup de temps ravi par la fascination ferroviaire ; mais, en y repensant par la suite, je ne suis pas éloigné de croire que j'ai trouvé dans cette contemplation infantile quelques-uns des ressorts les plus profonds et les plus secrets de mes intuitions de mathématicien topologue et de philosophe catastrophiste. J'y ai en tout cas trouvé cette idée essentielle : un réseau, dans sa structure "cybernétique" d'événements agissant les uns sur les autres, n'est jamais arbitraire. Il y a toujours une dynamique continue sous-jacente qui l'engendre et l'organise, faute de retrouver cette interprétation originaire, l'approche combinatoire, systémique, reste à la surface des choses ». On a eu de la chance, il aurait pu s'orienter sur les déraillements.
Pour ce qui est de l'application de sa théorie à la morphogenèse, Thom commence par remettre en cause les paradigmes « La synthèse [...] des pensées « vitaliste » et « mécaniste » en Biologie n'ira pas sans un profond remaniement de nos conceptions du monde inanimé. On use sans trop de scrupules en Biologie (et surtout en Biologie Moléculaire !) de vocables anthropomorphes tels que : information, code, message, programme [...] En pure Physicochimie, l'usage de ces vocables serait considéré comme la manifestation d'un anthropomorphisme délirant ». C'est bien un mathématicien qui parle et qui écrit. Avant d'introduire son modèle qui « attribue toute morphogenèse à un conflit, à une lutte entre deux ou plusieurs « attracteurs » ». le mot est lâché, avant qu'il ne soit repris par les idées de complexité et de dynamique des systèmes.
René Thom s'inspire pour cela de d'Arcy Thompson (1860-1948), et de son « On Growth and Form » (1917), traduit en « Forme et Croissance » (2009, Seuil, 336 p.). Il s'agit d'un ouvrage fondamental dans la morphogenèse et le développement des formes vivantes. Pour cela, Thom ne se confine pas au numérique, mais retourne au géométrique, plus intuitif et qualitatif et intuitif, et fonde ainsi une dynamique des formes. Il insiste alors sur le concept de bord. « Pour Aristote, un être, en général, c'est ce qui est là, séparé. Il possède un bord, il est séparé de l'espace ambiant. En somme, le bord de la chose, c'est sa forme. le concept, lui aussi, a un bord : c'est la définition de ce concept ». En mathématiques, le bord est ce qui peut être abordé, à la fois par l'intérieur et l'extérieur de cet ensemble. A côté de ce bord, il ajoute une « boîte noire », liée au paradigme existant en biologie ou aux fonctions relationnelles. Enfin il prend en compte l'autonomie des niveaux d'émergence, c'est-à-dire le « vitalisme géométrique » et la réduction des niveaux de complexité. C'est très technique et fait appel à un « champ morphogénétique », aptitude structurante d'un système, un « attracteur », pour stabiliser la forme un état perturbé, et enfin une « épigénétique », ou variation de la complexité du système.
René Thom explique l'analogie des formes par l'isomorphisme des situations dynamiques de conflit qui les engendre. le lieu des discontinuités, alors nommé morphologie, définit le bord d'une forme qualitative, phénoménologique et dynamique. Une catastrophe correspond aux valeurs critiques des paramètres morphogénétiques qui produisent une variation rapide de l'état du système. C'est ainsi que le pli correspond à un bord, soit la fin ou l'apparition d'un attracteur. La fronce résulte de la bifurcation d'un attracteur en deux autres. L'ombilic elliptique contrôle les formes pointues alors que l'ombilic parabolique éclate cette pointe en pointes complémentaires, et que l'ombilic hyperbolique provoque un déferlement latéral, similaire à une vague. On constate alors l'ambiguïté qu'il peut y avoir entre le type de catastrophe, topologie des paramètres, et la topologie des systèmes. En effet, le type de catastrophe, (pli, fronce, ombilic…) est défini sur les paramètres. Dans la morphogenèse, voilà cette forme mise au niveau de la morphologie du système. En d'autres termes, avec un exemple, prenons le cas d'une transition de phase, la transformation d'eau en glace. Il y a bien 1 paramètre, la viscosité de l'eau qui se transforme en 2, celle de l'eau et celle des glaçons. On a bien affaire à une catastrophe de type pli. Par contre, la forme du glaçon n'a rien à voir avec un quelconque pli. Mais on est passé de la catastrophe à la morphogenèse. Il y a là, à mon avis, un saut interprétatif qui m'échappe.
Il faut dire que lors de l'apparition de la théorie, le monde scientifique et surtout les SHS, ont vu des applications un peu partout, en linguistique comme en biologie, de la génération des ocelles sur les ailes de papillon à l'acquisition du langage humain. Il en a été de même plus tard avec l'apparition de la percolation dans les phénomènes de transport. Ou avec les fractales et l'apparition du chaos. Ce sont parfois des modes, plus ou moins assimilées, qui servent de supports analogiques à des théories mal appréhendées. Les modes aussi existent en sciences, mais étonnamment, on n'a pas encore revisité la roue.
Avec cette théorie de la morphogenèse, Thom rompt avec le courant néodarwiniste et réductionniste, admettant aussi que c'est « le défaut propre de tout modèle qualitatif par rapport aux modèles quantitatifs classiques ». C'est par évidence antithétique du Darwinisme. « Pourquoi un animal a-t-il la forme qu'il a ? Darwin répond : parce qu'il a, approximativement, la même forme que ses parents. [...] Comment de nouvelles formes, de nouvelles espèces ont pu apparaître [...] ? La sélection darwinienne permettait de se passer du Créateur, et ce fut indiscutablement son immense mérite historique. [...] C'est cet aspect tout négatif de la pensée darwinienne - éliminer Dieu - qui finalement a assuré son triomphe ».
L'innovation de René Thom consiste ensuite à généraliser les modèles morpho-dynamiques en biologie à une morpho-dynamique en linguistique ou sémiotique. L'idée centrale est que la continuité des lois morphogénétiques dans le domaine du vivant relie la physiologie et ses formes symboliques, dont le langage. C'est alors une sorte de « naturalisme méthodologique ». Il effectue alors une synthèse entre un processus généré par des bords et un espace continu, brisant alors les symétries et faisant apparaître le discontinu dans le continu.
On pense immédiatement au travail de Alexandre Grothendieck (1928-2014) et sa « géométrie algébrique », réunification de deux mondes jadis séparés que sont l'algèbre, ou les nombres, discontinus, et la géométrie et ses courbes continues. On lira, peut avec quelques difficultés, « Récoltes et Semailles » sous-titré « Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien ». C'est une collection de textes et d'essais finalement parue en deux tomes, réunis en un coffret de format poche (2023, Gallimard, Tel #742, 1998 p.).
L'exemple que Grothendieck fournit est illustré par le passage de mots aux vers, qu'il découvre étant enfant. Exemple certainement pas choisi au hasard. Il illustre son propos par le passage du mot à la phrase, belle illustration du passage du discontinu au continu. Chose simple, « jusqu'au jour où quelqu'un m'a expliqué qu'il y avait un "truc" tout simple ; que la rime, c'est tout simplement quand on fait se terminer par la même syllabe deux mouvements parlés consécutifs, qui du coup, comme par enchantement, deviennent des vers ». C'est la même variété de topologie.

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Citations et extraits (3) Ajouter une citation
« L’idée essentielle de notre théorie, à savoir qu’une certaine compréhension des processus morphogénétiques est possible sans avoir recours aux propriétés spéciales au substrat des formes, ou à la nature des forces agissantes, pourra sembler difficile à admettre, surtout de la part d’expérimentateurs habitués à tailler dans le vif, et continuellement en lutte avec une réalité qui leur résiste. ».

« La science naît du jour où des erreurs, des échecs, des surprises désagréables, nous poussent à regarder le réel de plus près. »
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Pourquoi un animal a-t-il la forme qu'il a ? Darwin répond : parce qu'il a, approximativement, la même forme que ses parents. [...] Comment de nouvelles formes, de nouvelles espèces ont pu apparaître [...] ? La sélection darwinienne permettait de se passer du Créateur, et ce fut indiscutablement son immense mérite historique. [...] C'est cet aspect tout négatif de la pensée darwinienne - éliminer Dieu - qui finalement a assuré son triomphe
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La science naît du jour où des erreurs, des échecs, des surprises désagréables, nous poussent à regarder le réel de plus près.
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Dans le contexte actuel de guerre et de pandémie, la réédition de Mère Folle qui met en scène la rencontre anachronique des Fous d'un théâtre politique très populaire en Europe après la Grande Peste et la Guerre de Cent ans avec ceux des asiles où l'auteur a travaillé comme analyste pendant trente ans, se révèle particulièrement précieuse.
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