Albert Einstein

Examinons de ce point de vue un axiome quelconque de la géométrie, par exemple le suivant: par deux points de l'espace on peut toujours tracer une ligne droite, et l'on en peut tracer qu'une seule. Comment cet axiome doit-il être interprété dans le sens ancien et comment dans le sens moderne?

Interprétation ancienne. - Chacun sait ce qu'est une droite et ce qu'est un point. Que cette connaissance provienne de la faculté de l'esprit humain ou de l'expérience, de la coopération des deux ou d'ailleurs, le mathématicien n'est pas obligé d'en décider; il abandonne cette décision au philosophe. Fondé sur cette connaissance, qui est donnée avant toute mathématique, l'axiome susnommé (comme tous les autres axiomes) est évident, c'est-à-dire qu'il est l'expression d'une partie de cette connaissance a priori.

Interprétation moderne. - La géométrie traite d'objets qui sont désignés par les termes de point, droite, etc. Une connaissance quelconque ou intuition de ces objets n'est pas supposée; la seule chose qu'on suppose est la validité des axiomes, dont celui mentionné plus haut est un exemple, qui doivent être conçus comme purement formels, c'est-à-dire dépourvus de tout contenu intuitif ou accessible à l'expérience. Ces axiomes sont des création libres de l'esprit humain. Toutes les autres propositions géométriques sont des déductions logiques des axiomes (qui doivent être conçus seulement au point de vue nominaliste). Ce sont les axiomes qui définissent en premier lieu les objets dont traite la géométrie. Et c'est pourquoi Schlick, dans son livre sur la Théorie de la connaissance, a très justement regardé les axiomes comme des définitions implicites.