Citation de GalaxioN
(A propos du théorème de Gödel)
Ce célèbre théorème contient le résultat suivant, qui est peut-être le plus extraordinaire et le plus mystérieux de toutes les mathématiques : un système d'arithmétique cohérent et non contradictoire contient toujours des propositions "indécidables", c'est-à-dire des énoncés mathématiques dont on ne peut jamais dire par le seul raisonnement logique s'ils sont vrais ou faux. D'autre part, on ne peut pas démontrer qu'un système est cohérent et non contradictoire sur la seule base des axiomes qu'il contient ; pour ce faire, il faut sortir du système et imposer un ou des axiomes supplémentaires qui lui sont extérieurs. Ce qui veut dire que le système est incomplet en soi. Voilà pourquoi le théorème de Gödel est souvent aussi appelé "théorème d'incomplétude".
Ce célèbre théorème contient le résultat suivant, qui est peut-être le plus extraordinaire et le plus mystérieux de toutes les mathématiques : un système d'arithmétique cohérent et non contradictoire contient toujours des propositions "indécidables", c'est-à-dire des énoncés mathématiques dont on ne peut jamais dire par le seul raisonnement logique s'ils sont vrais ou faux. D'autre part, on ne peut pas démontrer qu'un système est cohérent et non contradictoire sur la seule base des axiomes qu'il contient ; pour ce faire, il faut sortir du système et imposer un ou des axiomes supplémentaires qui lui sont extérieurs. Ce qui veut dire que le système est incomplet en soi. Voilà pourquoi le théorème de Gödel est souvent aussi appelé "théorème d'incomplétude".
