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Critique de gerardmuller
le théorème du perroquet
Denis Guedj (1940-2010)
Voici un roman étonnant de 650 pages que je vous invite à lire : il vous fera découvrir le monde mathématique comme vous ne l'avez jamais imaginé. Et vous saisirez alors comment vous auriez aimé que l'arithmétique, la géométrie, l'algèbre et la trigonométrie vous fussent enseignés au cours de votre adolescence. En annexe, vous y apprendrez une foule de petites choses comme l'origine du mot « poubelle ». C'était tout simplement le nom du préfet de Paris qui inventa le système de collecte des déchets. Mais plus sérieux, venons-en aux maths !
Monsieur Ruche est libraire à Montmartre. Handicapé à la suite d'un accident, il se déplace au moyen d'une chaise roulante. Il est secondé dans sa tâche de libraire par Mlle Perette qui a trois enfants. Max l'aîné, qui souffre de surdité, a été adopté, Léa et Jonathan sont jumeaux et sont nés avant que Max ne soit adopté. Tout ce petit monde vit dans un petit appartement de Montmartre aux multiples dépendances souvent encombrées de livres.
L'histoire commence aux Puces de Clignancourt alors que Max s'approprie un perroquet maltraité par des malotrus trafiquants d'animaux. Il le baptise Nofutur. le même jour, M. Ruche reçoit une lettre d'Amazonie signée d'un ami récemment disparu, qui lui lègue une incroyable bibliothèque d'ouvrages de sciences mathématiques.
M. Ruche féru de mathématiques s'exprime d'abord sur Thalès, l'homme dit de l'ombre car il peut mesurer la hauteur de la pyramide de Chéops grâce à son ombre portée. Il est le premier à faire face à ce défi avec succès. Son idée est la suivante : le rapport qu'il entretient avec son ombre est le même que celui que la pyramide entretient avec la sienne. Reste à la mettre en application.
Thalès de Milet a aussi énoncé le théorème des proportions pour en déduire que la forme est ce qui se conserve quand on garde les proportions et que l'on change les dimensions.
La cargaison de livres partie de Manaus arrive enfin à Montmartre après quelques péripéties. Et M. Ruche de se demander pourquoi son ami s'est débarrassé en catastrophe de toute sa bibliothèque. Et l'autre question est : comment classer ces milliers de livres de mathématiques dans tous les rayonnages qu'il a fait aménager spécialement. En vérité cela revient à recomposer l'architecture entière des mathématiques depuis le VIe siècle avant J.C. avec Thalès et Pythagore jusqu'à nos jours. Ce qu'il va faire avec constance et minutie en s'installant à la Bibliothèque Nationale, passant des mathématiciens grecs aux savants arabes, qui au IXe et Xe siècle furent de grands mathématiciens et des traducteurs accomplis des spécialistes grecs avant de créer l'algèbre, la combinatoire et la trigonométrie. Puis il passe aux Italiens spécialistes au XVIe siècle de l'algèbre élémentaire, des nombres complexes, puis ceux de l'Europe entière avec l'invention des logarithmes avec Napier (appelé aussi Neper), de la géométrie analytique avec Fermat et Descartes, le calcul infinitésimal avec Leibniz et Newton, les probabilités avec Pascal…etc. Au XVIIIe, il trouve l'âge d'or de l'analyse avec Euler et D Alembert, au XXe les groupes et les matrices avec Riemann et Gauss, la géométrie non euclidienne avec Riemann et Lobatchevski, la théorie des ensembles avec Hibert et Cantor.
Sont évoquées aussi la conjecture de Fermat qu'un certain Ibn al Kawwam avait pressentie, à savoir qu'un cube ne peut être la somme de deux cubes. L'équation x au cube+ y au cube= z au cube n'a pas de solution à priori.
Presque tous les ouvrages sont des éditions originales, certaines vieilles de cinq siècles.
Une deuxième lettre de Grosrouvre arrive qui apporte des précisions sur la collection de livres et les raisons qui l'ont amené à se séparer de sa bibliothèque. Il parle aussi de Pythagore qui a découvert les nombres amiables comme 220 et 284. La somme des diviseurs de 220 est égale à 284 et celle des diviseurs de 284 égale à 220.
Dans la foulée, M. Ruche se précipite sur les ouvrages relatifs à Pythagore, qui a dix huit ans participa aux jeux olympiques et remporta les compétitions de pugilat. Il fonda ensuite son école à Crotone au sud de l'Italie. Élève de Thalès son école vit passer Hippase, le premier des pythagoriciens, qui inventa la troisième médiété, Hippocrate de Chios inventeur du raisonnement par l'absurde, Philolaos le premier qui comprit que la Terre n'était pas au centre de l'univers, Archytas inventeur du nombre un, qu'auparavant les Grecs ne considérait pas comme faisant partie des nombres. Pythagore établit aussi que pair + pair= pair, impair + impair= pair, pair + impair= impair. Et aussi que pair x pair= pair, impair x impair= impair, pair x impair= pair. On en vient au théorème de Pythagore qui avait en fait été découvert par les babyloniens, mille ans auparavant. : la somme des carrés des côtés d'un triangle rectangle est égale au carré du troisième côté (hypoténuse) .
À la suite de l'incendie qui a détruit la demeure de Grosrouvre à Manaus, M. Ruche se demande si le cadavre retrouvé dans les décombres est bien celui d'Elgar. Cette histoire rappelle étrangement celle de Philolaos qui fut le seul rescapé de l'incendie de sa demeure à Crotone. La deuxième lettre plonge la maisonnée dans une série d'interrogations.
M. Ruche continue ses investigations et il énonce : « si un nombre représente le côté d'un carré, aucun nombre ne pourra représenter sa diagonale. Diagonale et côté sont incommensurables. Il existe donc des grandeurs qu'aucun nombre ne peut exprimer !! le nombre équivalent à la racine de 2 est un nombre irrationnel approchant 1,414213…etc. L'incommensurabilité n'est pas visible ! La figure représentant un carré de côté 1 et sa diagonale égale à racine carrée de 2, est muette, seul le travail de la pensée peut révéler l'incommensurabilité. La réalité est plus riche que les nombres. Donc dans un carré, si un nombre mesure le côté, aucun nombre ne mesure la diagonale et vice versa. C'est le « scandale logique » d'Hippase de Métaponte !
On passe ensuite à Euclide l'homme de la rigueur qui a défini la géométrie et la théorie des nombres. C'est lui qui a mis au point une méthode inventée par Eudoxe, la méthode d'exhaustion qui permet de déterminer la surface d'un cercle en inscrivant un carré à l'intérieur, puis en doublant le nombre des côtés et ainsi de suite jusqu'à obtenir un polygone aux multiples côtés. Mais on ne connaîtra jamais la surface exacte du cercle, même en multipliant les côtés à l'infini, tout en s'en rapprochant de plus en plus.
C'est Euclide aussi qui a défini qu'il existe 5 polyèdres réguliers inscriptibles dans une sphère : le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre.
Alors que dans un plan, il existe une infinité de polygones réguliers inscriptibles dans un cercle, mais dans l'espace il n'y a que 5 volumes seulement inscriptibles dans une sphère.
Euclide énonça que l'on démontre une proposition en la déduisant d'une autre déjà admise comme vraie. Ainsi il posé toute une série d'axiomes dont d'ailleurs le champ s'étend bien au delà des mathématiques et concerne la logique.
de même, il a énoncé les cinq postulats qui n'existent qu'en géométrie et jamais en arithmétique.
Il est à remarquer qu'autant les sciences furent chéries en Grèce, autant elles furent délaissées à Rome. Après la pléthore de mathématiciens grecs, en mille ans il n'y eut aucun mathématicien romain. La conjugaison du désintérêt romain pour les choses de l'esprit et de l'hostilité des chrétiens pour ces savoirs qui ne devaient rien à Dieu ni à ses saints eut des conséquences tragiques pour la survie des sciences. La première victime fut une certaine Hypatie, dont le père, Théon, découvrit une méthode de calcul des racines carrées. Elle travailla sur les résultats de Claude Ptolémée et de Diophante. Les partisans du nouvel ordre moral ne purent supporter qu'elle enseignât les mathématiques et la philosophie et elle fut torturée et mise à mort au bûcher comme sorcière.
La belle histoire du papyrus de Rhind fait alors l'objet d'un bel exposé de la part de M. Ruche à ses enfants. Découvert au XIXe siècle dans le tombeau mortuaire de Ramsés II à Thèbes, il est le plus vieux traité de mathématiques connu. Il est l'oeuvre de Ahmès, un scribe vivant 1700 ans avant notre ère., qui a retranscrit un papyrus vieux de plus de 500 ans pour lui, datant d'Ammenemès III qui régna 2000 avant notre ère.
Et puis reviennent les trois questions toujours pas élucidées : qui voulait voler les documents exposant les démonstrations de Grosrouvre ? Et comment est mort cet ami de M. Ruche ? Pas de preuve formelle de sa mort d'ailleurs ! Qui était le fidèle compagnon évoqué par Grosrouvre et qui pourrait détenir les solutions aux conjectures ?
Trois questions comme les trois grands problèmes de mathématiques de l'Antiquité : la quadrature du cercle, la duplication du cube et la trisection de l'angle à la règle et au compas ! Ahmès se posait déjà la question ; comment trouver un carré équivalent à un cercle donné ? Anaxagore s'y risqua et puis Hippocrate de Chios, sans succès.
Omar al Khayyam, le poète de Samarcande fut aussi un illustre mathématicien et son ouvrage Rubâiyât, recueil de quatrains donne un avant goût de sa recherche en mathématique. On admirera ces deux vers pleins de douce insolence et de provocation :
« le vin, les beaux cheveux dans les mains, c'est autant de pris dans cette vie. Combien de jours te reste-t-il ? »
Les mathématiciens arabes en traduisant nombre de documents grecs en arabe nous ont fait parvenir notamment les Éléments d'Euclide. Souvent en complétant la recherche par exemple pour les nombres amiables. Khayyam fut à l'origine de la notion de polynôme.
C'est à Bagdad après Alexandrie que s'instaura l'amour des sciences et des arts et que se constitua une immense bibliothèque. Tous les livres écrits en grec furent traduit par de vastes ateliers de calligraphie et des équipes de scribes traducteur en arabe. Une véritable chasse aux manuscrits ! Ses troupes ayant remporté une victoire sur les armées byzantines de l'Empire romain d'Orient, al Mamun préféra échanger des prisonniers chrétiens contre des livres qui arrivèrent à la Maison de la Sagesse de Bagdad.
Venu d'Inde au Ve siècle, le manuscrit Sindhind révéla au monde les dix chiffres, le zéro compris. Ces dix chiffres constituaient l'une des pièces d'un dispositif global qui permettait d'écrire les nombres et de calculer avec eux : la numérotation décimale de position avec un zéro : une des plus importantes inventions de l'humanité. Les chiffres que le monde entier utilise, ont donc été inventés par les Indiens en Inde. Et non pas par les Arabes comme on le dit généralement. D'ailleurs, lorsque les chiffres sont arrivés à Bagdad, les Arabes les ont appelés « les figures indiennes ».
Par contre ce sont bien les Arabes à Bagdad qui ont inventé l'algèbre en la personne de al Khwarizmi.
Et Lea de se demander pourquoi x dans les équations est l'inconnue et non pas l'inconnu !!
Sharaf al Din al Tusi poursuivit l'oeuvre de al Khayyam en ce qui concerne les équations du 3e degré et mit en oeuvre la dérivée. C'est Nasir al Din al Tusi qui mit au point et donna ses lettres de noblesse avec Abual Wafa à la trigonométrie qui existait déjà en Grèce (Hipparque, Ptolémée, Théodose et Ménélaos) et en Inde mais à l'état de rudiments. C'est Ménélaos au IIe siècle après JC qui démontra le premier que la somme des angles d'un triangle construit sur une sphère était supérieure à 180°.
Puis M. Ruche nous emmène en Italie du XVe siècle pour faire connaissance de Fibonacci qui écrivit le premier grand traité de mathématique d'Occident. C'est lui qui dressa la fameuse liste de nombres qui porte son nom. C'est aussi l'époque où le papier, découverte arrivée de Chine, permet à l'imprimerie de se développer à Bagdad et multiplier les ouvrages. On fait connaissance avec Pacioli puis Tartaglia qui s'intéressa à la résolution des équations du troisième degré et par ailleurs fonda une nouvelle science, la balistique qui étudie les mouvements des projectiles. Mais c'est Cardan- (celui qui a inventé le système antiroulis sur les véhicules de l'époque et qui a abouti plus tard à faire en sorte que le volant fasse tourner les roues et au moteur d'entrainer les roues)-qui permit la résolution des équations du troisième degré par radicaux . Puis Ferrari résolut ainsi celle du quatrième degré.
L'invention des signes + et – remonte à 1489 avec Widmann, et x à 1631 avec Oughtred. Les parenthèses apparurent avec Bombelli à la même époque.
Une invention astucieuse et très utile vit le jour en 1557 avec un anglais du nom de Recorde, celle du signe =.
Et M. Ruche nous fait découvrir des êtres bizarres : les nombres « impossibles » que Descartes appela « imaginaires » et plus tard encore Gauss « complexes ». les autres nombres, qu'ils soient positifs ou négatifs ou encore rationnels ou irrationnels sont des nombres « réels ». C'est Euler qui imagina « i » le nombre imaginaire (racine de moins 1), permettant de résoudre nombre d'équations. C'est à la suite de cela que M. Ruche se demanda si l'on pouvait extraire la racine carrée d'un négatif ! La réponse à travers les traités s'avère étonnante puisqu'elle est : Oui et Non !! Non si l'on considère les nombres réels, oui si l'on considère les nombres complexes, grâce à « i », racine imaginaire de l'unité négative.
Et qu'en est-il des équations algébriques du 5e degré ? Trois siècles de calculs et de recherches avec Tartaglia, Cardan, Ferrari, Bombelli, Euler, Lagrange, puis avec le norvégien Niels Abel, qui en 1823 conclut qu'elles n'étaient pas solubles par radicaux ni toutes celles de degré supérieur. Épuisé par ses calculs il est mort à 27 ans !
Plus tard, Evariste Galois va révolutionner ce secteur des mathématiques en introduisant la notion de « structures » en algèbre.
Quand on arrive au chapitre Fermat (1601 ?- 1665) , on ne peut qu'être ébahi, car cet homme, magistrat à Toulouse, est à l'origine de la théorie des nombres, avec Blaise Pascal de la théories des probabilités, avec Descartes de la géométrie analytique, et précurseur du calcul différentiel et du calcul intégral ! Fermat a démontré qu'aucun triangle rectangle n'a pour aire un carré !! Dans sa théorie des nombres, il a démontré en 1650 qu'il n'est pas possible de partager un cube en deux autres cubes et en général une puissance quelconque supérieure en deux puissances de même degré excepté pour la puissance 2. La démonstration de ce dernier théorème de Fermat ayant disparu, personne n'a pu la refaire avant 1995 en les personnes de Wiles et Taylor, deux mathématiciens anglais de l'Université de Princeton ! On peut formuler le théorème aussi de la façon suivante : on ne peut pas décomposer une puissance en somme de deux mêmes puissances sauf pour les carrés.
Quant à Blaise Pascal (1623-1662), c'est à 16 ans qu'il a écrit son fameux traité « Essai pour les coniques » ! il est l'inventeur de la machine à calculer. Il va se lancer ensuite dans l'analyse combinatoire. Dans le domaine des probabilités, il faut aussi mentionner la famille Bernoulli au nombre de dix, étalés sur deux siècles et tous des matheux ! Jacques Bernoulli mit au point l'art de conjecturer, appelé la stochastique.
C'est Newton et Leibniz qui mirent au point après Fermat le calcul intégral, Leibniz inventant de plus le signe S allongé .
C'est alors qu'un soir, ô rage ô désespoir, M. Ruche découvre que Nofutur a été kidnappé ! Max va remuer ciel et terre pour le retrouver…
On en arrive alors à Euler (1707-1783), qui a laissé son nom à un quantité de théorèmes, formules et autres équations. Son oeuvre occupe 75 volumes et 45 000 pages !! de mathématiques ! Il a beaucoup travaillé sur le nombre π . Et notamment démontré que le sixième du carré de π était égal à la somme des inverses des carrés des différents nombres entiers ! Il a montré aussi que la longueur de l'arc de cercle pour aller d'un point à un autre est π/2 fois plus long que la ligne droite représentant le diamètre.
Une partie du chapitre consacré à π évoque la chasse aux décimales qui sont en nombre infini.
Il fallait bien parler de la fameuse formule de Euler : e puissance iπ =-1 Une assez longue explication nous fait découvrir que e= 2,7182… résultat d'une fonction exponentielle. La formule s'écrit aussi e puissance iπ+1=0. (en n'oubliant pas que i=racine de -1, nombre imaginaire)
Puis sont abordés les logarithmes népériens et autres, inventés par Napier (ou Neper) (1550-1617) d'origine écossaise. Il a mis vingt ans pour établir les tables de logarithmes !!
C'est Goldbach en 1742 qui établit que tout nombre pair différent de 2 est la somme de deux nombres premiers. C'est la conjecture de Goldbach qui n'a jamais pu être démontrée sans que l'on puisse affirmer qu'elle est fausse. À moins que les travaux secrets de Grosrouvre ne contiennent cette démonstration lui qui l'affirmait avant de mourir On a vu ce qu'il en était de la conjecture ou dernier théorème de Fermat ! Quant à la conjecture de Euler (1772) : la somme de trois bicarrés ne peut être un bicarré, il a fallu attendre Noam Elkies en 1988 pour prouver qu'elle était fausse ! Elkies après une très longue recherche a trouvé : 2 682 440 puissance 4 +15 365 639 puissance 4 +18 796 760 puissance 4 = 20 615 673 puissance 4 !!!
Et la quadrature du cercle ? C'est un allemand nommé Stiefel qui a énoncé vers 1550 qu'elle était impossible. Et depuis, des milliers de mathématiciens se sont attelés à cette recherche, vainement !
Plusieurs pages sont consacrées aux nombres irrationnels et transcendants, avec notamment la démonstration de l'irrationalité du rapport entre le périmètre et la diagonale d'un carré, et celle plus difficile à établir du rapport entre la circonférence et le rayon d'un cercle, = à π qui est donc un irrationnel et en même temps transcendant. C'est Euler qui l'affirma sans pouvoir le démontrer. C'est Lambert en 1761 qui y parvint.
Il ne faut pas perdre de vue au cours du récit que Grosrouvre a prétendu avoir démontrer les trois conjectures les plus célèbres, mais M. Ruche n'en a pas trouvé trace dans les notes incluses dans la bibliothèque dont il a hérité et qu'il eu le temps de compulser.
En attendant on apprend que le volume de la sphère est égal au 2/3 de celui du cylindre qui la contient et leur surface est dans le même rapport. // LA SUITE DU COMMENTAIRE DANS LA CASE "COMMENTER".
Denis Guedj (1940-2010)
Voici un roman étonnant de 650 pages que je vous invite à lire : il vous fera découvrir le monde mathématique comme vous ne l'avez jamais imaginé. Et vous saisirez alors comment vous auriez aimé que l'arithmétique, la géométrie, l'algèbre et la trigonométrie vous fussent enseignés au cours de votre adolescence. En annexe, vous y apprendrez une foule de petites choses comme l'origine du mot « poubelle ». C'était tout simplement le nom du préfet de Paris qui inventa le système de collecte des déchets. Mais plus sérieux, venons-en aux maths !
Monsieur Ruche est libraire à Montmartre. Handicapé à la suite d'un accident, il se déplace au moyen d'une chaise roulante. Il est secondé dans sa tâche de libraire par Mlle Perette qui a trois enfants. Max l'aîné, qui souffre de surdité, a été adopté, Léa et Jonathan sont jumeaux et sont nés avant que Max ne soit adopté. Tout ce petit monde vit dans un petit appartement de Montmartre aux multiples dépendances souvent encombrées de livres.
L'histoire commence aux Puces de Clignancourt alors que Max s'approprie un perroquet maltraité par des malotrus trafiquants d'animaux. Il le baptise Nofutur. le même jour, M. Ruche reçoit une lettre d'Amazonie signée d'un ami récemment disparu, qui lui lègue une incroyable bibliothèque d'ouvrages de sciences mathématiques.
M. Ruche féru de mathématiques s'exprime d'abord sur Thalès, l'homme dit de l'ombre car il peut mesurer la hauteur de la pyramide de Chéops grâce à son ombre portée. Il est le premier à faire face à ce défi avec succès. Son idée est la suivante : le rapport qu'il entretient avec son ombre est le même que celui que la pyramide entretient avec la sienne. Reste à la mettre en application.
Thalès de Milet a aussi énoncé le théorème des proportions pour en déduire que la forme est ce qui se conserve quand on garde les proportions et que l'on change les dimensions.
La cargaison de livres partie de Manaus arrive enfin à Montmartre après quelques péripéties. Et M. Ruche de se demander pourquoi son ami s'est débarrassé en catastrophe de toute sa bibliothèque. Et l'autre question est : comment classer ces milliers de livres de mathématiques dans tous les rayonnages qu'il a fait aménager spécialement. En vérité cela revient à recomposer l'architecture entière des mathématiques depuis le VIe siècle avant J.C. avec Thalès et Pythagore jusqu'à nos jours. Ce qu'il va faire avec constance et minutie en s'installant à la Bibliothèque Nationale, passant des mathématiciens grecs aux savants arabes, qui au IXe et Xe siècle furent de grands mathématiciens et des traducteurs accomplis des spécialistes grecs avant de créer l'algèbre, la combinatoire et la trigonométrie. Puis il passe aux Italiens spécialistes au XVIe siècle de l'algèbre élémentaire, des nombres complexes, puis ceux de l'Europe entière avec l'invention des logarithmes avec Napier (appelé aussi Neper), de la géométrie analytique avec Fermat et Descartes, le calcul infinitésimal avec Leibniz et Newton, les probabilités avec Pascal…etc. Au XVIIIe, il trouve l'âge d'or de l'analyse avec Euler et D Alembert, au XXe les groupes et les matrices avec Riemann et Gauss, la géométrie non euclidienne avec Riemann et Lobatchevski, la théorie des ensembles avec Hibert et Cantor.
Sont évoquées aussi la conjecture de Fermat qu'un certain Ibn al Kawwam avait pressentie, à savoir qu'un cube ne peut être la somme de deux cubes. L'équation x au cube+ y au cube= z au cube n'a pas de solution à priori.
Presque tous les ouvrages sont des éditions originales, certaines vieilles de cinq siècles.
Une deuxième lettre de Grosrouvre arrive qui apporte des précisions sur la collection de livres et les raisons qui l'ont amené à se séparer de sa bibliothèque. Il parle aussi de Pythagore qui a découvert les nombres amiables comme 220 et 284. La somme des diviseurs de 220 est égale à 284 et celle des diviseurs de 284 égale à 220.
Dans la foulée, M. Ruche se précipite sur les ouvrages relatifs à Pythagore, qui a dix huit ans participa aux jeux olympiques et remporta les compétitions de pugilat. Il fonda ensuite son école à Crotone au sud de l'Italie. Élève de Thalès son école vit passer Hippase, le premier des pythagoriciens, qui inventa la troisième médiété, Hippocrate de Chios inventeur du raisonnement par l'absurde, Philolaos le premier qui comprit que la Terre n'était pas au centre de l'univers, Archytas inventeur du nombre un, qu'auparavant les Grecs ne considérait pas comme faisant partie des nombres. Pythagore établit aussi que pair + pair= pair, impair + impair= pair, pair + impair= impair. Et aussi que pair x pair= pair, impair x impair= impair, pair x impair= pair. On en vient au théorème de Pythagore qui avait en fait été découvert par les babyloniens, mille ans auparavant. : la somme des carrés des côtés d'un triangle rectangle est égale au carré du troisième côté (hypoténuse) .
À la suite de l'incendie qui a détruit la demeure de Grosrouvre à Manaus, M. Ruche se demande si le cadavre retrouvé dans les décombres est bien celui d'Elgar. Cette histoire rappelle étrangement celle de Philolaos qui fut le seul rescapé de l'incendie de sa demeure à Crotone. La deuxième lettre plonge la maisonnée dans une série d'interrogations.
M. Ruche continue ses investigations et il énonce : « si un nombre représente le côté d'un carré, aucun nombre ne pourra représenter sa diagonale. Diagonale et côté sont incommensurables. Il existe donc des grandeurs qu'aucun nombre ne peut exprimer !! le nombre équivalent à la racine de 2 est un nombre irrationnel approchant 1,414213…etc. L'incommensurabilité n'est pas visible ! La figure représentant un carré de côté 1 et sa diagonale égale à racine carrée de 2, est muette, seul le travail de la pensée peut révéler l'incommensurabilité. La réalité est plus riche que les nombres. Donc dans un carré, si un nombre mesure le côté, aucun nombre ne mesure la diagonale et vice versa. C'est le « scandale logique » d'Hippase de Métaponte !
On passe ensuite à Euclide l'homme de la rigueur qui a défini la géométrie et la théorie des nombres. C'est lui qui a mis au point une méthode inventée par Eudoxe, la méthode d'exhaustion qui permet de déterminer la surface d'un cercle en inscrivant un carré à l'intérieur, puis en doublant le nombre des côtés et ainsi de suite jusqu'à obtenir un polygone aux multiples côtés. Mais on ne connaîtra jamais la surface exacte du cercle, même en multipliant les côtés à l'infini, tout en s'en rapprochant de plus en plus.
C'est Euclide aussi qui a défini qu'il existe 5 polyèdres réguliers inscriptibles dans une sphère : le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre.
Alors que dans un plan, il existe une infinité de polygones réguliers inscriptibles dans un cercle, mais dans l'espace il n'y a que 5 volumes seulement inscriptibles dans une sphère.
Euclide énonça que l'on démontre une proposition en la déduisant d'une autre déjà admise comme vraie. Ainsi il posé toute une série d'axiomes dont d'ailleurs le champ s'étend bien au delà des mathématiques et concerne la logique.
de même, il a énoncé les cinq postulats qui n'existent qu'en géométrie et jamais en arithmétique.
Il est à remarquer qu'autant les sciences furent chéries en Grèce, autant elles furent délaissées à Rome. Après la pléthore de mathématiciens grecs, en mille ans il n'y eut aucun mathématicien romain. La conjugaison du désintérêt romain pour les choses de l'esprit et de l'hostilité des chrétiens pour ces savoirs qui ne devaient rien à Dieu ni à ses saints eut des conséquences tragiques pour la survie des sciences. La première victime fut une certaine Hypatie, dont le père, Théon, découvrit une méthode de calcul des racines carrées. Elle travailla sur les résultats de Claude Ptolémée et de Diophante. Les partisans du nouvel ordre moral ne purent supporter qu'elle enseignât les mathématiques et la philosophie et elle fut torturée et mise à mort au bûcher comme sorcière.
La belle histoire du papyrus de Rhind fait alors l'objet d'un bel exposé de la part de M. Ruche à ses enfants. Découvert au XIXe siècle dans le tombeau mortuaire de Ramsés II à Thèbes, il est le plus vieux traité de mathématiques connu. Il est l'oeuvre de Ahmès, un scribe vivant 1700 ans avant notre ère., qui a retranscrit un papyrus vieux de plus de 500 ans pour lui, datant d'Ammenemès III qui régna 2000 avant notre ère.
Et puis reviennent les trois questions toujours pas élucidées : qui voulait voler les documents exposant les démonstrations de Grosrouvre ? Et comment est mort cet ami de M. Ruche ? Pas de preuve formelle de sa mort d'ailleurs ! Qui était le fidèle compagnon évoqué par Grosrouvre et qui pourrait détenir les solutions aux conjectures ?
Trois questions comme les trois grands problèmes de mathématiques de l'Antiquité : la quadrature du cercle, la duplication du cube et la trisection de l'angle à la règle et au compas ! Ahmès se posait déjà la question ; comment trouver un carré équivalent à un cercle donné ? Anaxagore s'y risqua et puis Hippocrate de Chios, sans succès.
Omar al Khayyam, le poète de Samarcande fut aussi un illustre mathématicien et son ouvrage Rubâiyât, recueil de quatrains donne un avant goût de sa recherche en mathématique. On admirera ces deux vers pleins de douce insolence et de provocation :
« le vin, les beaux cheveux dans les mains, c'est autant de pris dans cette vie. Combien de jours te reste-t-il ? »
Les mathématiciens arabes en traduisant nombre de documents grecs en arabe nous ont fait parvenir notamment les Éléments d'Euclide. Souvent en complétant la recherche par exemple pour les nombres amiables. Khayyam fut à l'origine de la notion de polynôme.
C'est à Bagdad après Alexandrie que s'instaura l'amour des sciences et des arts et que se constitua une immense bibliothèque. Tous les livres écrits en grec furent traduit par de vastes ateliers de calligraphie et des équipes de scribes traducteur en arabe. Une véritable chasse aux manuscrits ! Ses troupes ayant remporté une victoire sur les armées byzantines de l'Empire romain d'Orient, al Mamun préféra échanger des prisonniers chrétiens contre des livres qui arrivèrent à la Maison de la Sagesse de Bagdad.
Venu d'Inde au Ve siècle, le manuscrit Sindhind révéla au monde les dix chiffres, le zéro compris. Ces dix chiffres constituaient l'une des pièces d'un dispositif global qui permettait d'écrire les nombres et de calculer avec eux : la numérotation décimale de position avec un zéro : une des plus importantes inventions de l'humanité. Les chiffres que le monde entier utilise, ont donc été inventés par les Indiens en Inde. Et non pas par les Arabes comme on le dit généralement. D'ailleurs, lorsque les chiffres sont arrivés à Bagdad, les Arabes les ont appelés « les figures indiennes ».
Par contre ce sont bien les Arabes à Bagdad qui ont inventé l'algèbre en la personne de al Khwarizmi.
Et Lea de se demander pourquoi x dans les équations est l'inconnue et non pas l'inconnu !!
Sharaf al Din al Tusi poursuivit l'oeuvre de al Khayyam en ce qui concerne les équations du 3e degré et mit en oeuvre la dérivée. C'est Nasir al Din al Tusi qui mit au point et donna ses lettres de noblesse avec Abual Wafa à la trigonométrie qui existait déjà en Grèce (Hipparque, Ptolémée, Théodose et Ménélaos) et en Inde mais à l'état de rudiments. C'est Ménélaos au IIe siècle après JC qui démontra le premier que la somme des angles d'un triangle construit sur une sphère était supérieure à 180°.
Puis M. Ruche nous emmène en Italie du XVe siècle pour faire connaissance de Fibonacci qui écrivit le premier grand traité de mathématique d'Occident. C'est lui qui dressa la fameuse liste de nombres qui porte son nom. C'est aussi l'époque où le papier, découverte arrivée de Chine, permet à l'imprimerie de se développer à Bagdad et multiplier les ouvrages. On fait connaissance avec Pacioli puis Tartaglia qui s'intéressa à la résolution des équations du troisième degré et par ailleurs fonda une nouvelle science, la balistique qui étudie les mouvements des projectiles. Mais c'est Cardan- (celui qui a inventé le système antiroulis sur les véhicules de l'époque et qui a abouti plus tard à faire en sorte que le volant fasse tourner les roues et au moteur d'entrainer les roues)-qui permit la résolution des équations du troisième degré par radicaux . Puis Ferrari résolut ainsi celle du quatrième degré.
L'invention des signes + et – remonte à 1489 avec Widmann, et x à 1631 avec Oughtred. Les parenthèses apparurent avec Bombelli à la même époque.
Une invention astucieuse et très utile vit le jour en 1557 avec un anglais du nom de Recorde, celle du signe =.
Et M. Ruche nous fait découvrir des êtres bizarres : les nombres « impossibles » que Descartes appela « imaginaires » et plus tard encore Gauss « complexes ». les autres nombres, qu'ils soient positifs ou négatifs ou encore rationnels ou irrationnels sont des nombres « réels ». C'est Euler qui imagina « i » le nombre imaginaire (racine de moins 1), permettant de résoudre nombre d'équations. C'est à la suite de cela que M. Ruche se demanda si l'on pouvait extraire la racine carrée d'un négatif ! La réponse à travers les traités s'avère étonnante puisqu'elle est : Oui et Non !! Non si l'on considère les nombres réels, oui si l'on considère les nombres complexes, grâce à « i », racine imaginaire de l'unité négative.
Et qu'en est-il des équations algébriques du 5e degré ? Trois siècles de calculs et de recherches avec Tartaglia, Cardan, Ferrari, Bombelli, Euler, Lagrange, puis avec le norvégien Niels Abel, qui en 1823 conclut qu'elles n'étaient pas solubles par radicaux ni toutes celles de degré supérieur. Épuisé par ses calculs il est mort à 27 ans !
Plus tard, Evariste Galois va révolutionner ce secteur des mathématiques en introduisant la notion de « structures » en algèbre.
Quand on arrive au chapitre Fermat (1601 ?- 1665) , on ne peut qu'être ébahi, car cet homme, magistrat à Toulouse, est à l'origine de la théorie des nombres, avec Blaise Pascal de la théories des probabilités, avec Descartes de la géométrie analytique, et précurseur du calcul différentiel et du calcul intégral ! Fermat a démontré qu'aucun triangle rectangle n'a pour aire un carré !! Dans sa théorie des nombres, il a démontré en 1650 qu'il n'est pas possible de partager un cube en deux autres cubes et en général une puissance quelconque supérieure en deux puissances de même degré excepté pour la puissance 2. La démonstration de ce dernier théorème de Fermat ayant disparu, personne n'a pu la refaire avant 1995 en les personnes de Wiles et Taylor, deux mathématiciens anglais de l'Université de Princeton ! On peut formuler le théorème aussi de la façon suivante : on ne peut pas décomposer une puissance en somme de deux mêmes puissances sauf pour les carrés.
Quant à Blaise Pascal (1623-1662), c'est à 16 ans qu'il a écrit son fameux traité « Essai pour les coniques » ! il est l'inventeur de la machine à calculer. Il va se lancer ensuite dans l'analyse combinatoire. Dans le domaine des probabilités, il faut aussi mentionner la famille Bernoulli au nombre de dix, étalés sur deux siècles et tous des matheux ! Jacques Bernoulli mit au point l'art de conjecturer, appelé la stochastique.
C'est Newton et Leibniz qui mirent au point après Fermat le calcul intégral, Leibniz inventant de plus le signe S allongé .
C'est alors qu'un soir, ô rage ô désespoir, M. Ruche découvre que Nofutur a été kidnappé ! Max va remuer ciel et terre pour le retrouver…
On en arrive alors à Euler (1707-1783), qui a laissé son nom à un quantité de théorèmes, formules et autres équations. Son oeuvre occupe 75 volumes et 45 000 pages !! de mathématiques ! Il a beaucoup travaillé sur le nombre π . Et notamment démontré que le sixième du carré de π était égal à la somme des inverses des carrés des différents nombres entiers ! Il a montré aussi que la longueur de l'arc de cercle pour aller d'un point à un autre est π/2 fois plus long que la ligne droite représentant le diamètre.
Une partie du chapitre consacré à π évoque la chasse aux décimales qui sont en nombre infini.
Il fallait bien parler de la fameuse formule de Euler : e puissance iπ =-1 Une assez longue explication nous fait découvrir que e= 2,7182… résultat d'une fonction exponentielle. La formule s'écrit aussi e puissance iπ+1=0. (en n'oubliant pas que i=racine de -1, nombre imaginaire)
Puis sont abordés les logarithmes népériens et autres, inventés par Napier (ou Neper) (1550-1617) d'origine écossaise. Il a mis vingt ans pour établir les tables de logarithmes !!
C'est Goldbach en 1742 qui établit que tout nombre pair différent de 2 est la somme de deux nombres premiers. C'est la conjecture de Goldbach qui n'a jamais pu être démontrée sans que l'on puisse affirmer qu'elle est fausse. À moins que les travaux secrets de Grosrouvre ne contiennent cette démonstration lui qui l'affirmait avant de mourir On a vu ce qu'il en était de la conjecture ou dernier théorème de Fermat ! Quant à la conjecture de Euler (1772) : la somme de trois bicarrés ne peut être un bicarré, il a fallu attendre Noam Elkies en 1988 pour prouver qu'elle était fausse ! Elkies après une très longue recherche a trouvé : 2 682 440 puissance 4 +15 365 639 puissance 4 +18 796 760 puissance 4 = 20 615 673 puissance 4 !!!
Et la quadrature du cercle ? C'est un allemand nommé Stiefel qui a énoncé vers 1550 qu'elle était impossible. Et depuis, des milliers de mathématiciens se sont attelés à cette recherche, vainement !
Plusieurs pages sont consacrées aux nombres irrationnels et transcendants, avec notamment la démonstration de l'irrationalité du rapport entre le périmètre et la diagonale d'un carré, et celle plus difficile à établir du rapport entre la circonférence et le rayon d'un cercle, = à π qui est donc un irrationnel et en même temps transcendant. C'est Euler qui l'affirma sans pouvoir le démontrer. C'est Lambert en 1761 qui y parvint.
Il ne faut pas perdre de vue au cours du récit que Grosrouvre a prétendu avoir démontrer les trois conjectures les plus célèbres, mais M. Ruche n'en a pas trouvé trace dans les notes incluses dans la bibliothèque dont il a hérité et qu'il eu le temps de compulser.
En attendant on apprend que le volume de la sphère est égal au 2/3 de celui du cylindre qui la contient et leur surface est dans le même rapport. // LA SUITE DU COMMENTAIRE DANS LA CASE "COMMENTER".
