Steven Strogatz

Né dans une famille prospère, Descartes était un petit garçon maladif qu'on autorisait à rester au lit tant qu'il le voulait, une habitude qu'il conserverait toute sa vie puisqu'il ne se levait jamais avant midi.

7. « Tel est à mes yeux le plus grand de tous les mystères : pourquoi l'univers est-il intelligible et pourquoi le calcul infinitésimal est-il sur la même longueur d'onde ? […] Dans cet esprit, permettez-moi de vous emmener au-delà du réel pour trois derniers exemples de l'étrange efficacité du calcul infinitésimal. [p. 423]
[… les] travaux de Feynman lui-même sur une branche de la mécanique quantique nommée électrodynamique quantique, ou QED selon ses sigles anglais. Il s'agit de la théorie quantique concernant l'interaction de la lumière et de la matière. C'est une fusion de la théorie de Maxwell sur l'électricité et le magnétisme avec celle des quanta d'Heisenberg et Schrödinger et celle de la relativité restreinte d'Einstein. [p. 424]
[La vérification empirique par Carl Anderson en 1932 de l'existence des positons, qui découlaient des calculs de Paul Dirac en 1928] Dirac est parvenu à écrire une équation différentielle de l'électron qui lui a révélé quelque chose de nouveau et de beau au sujet de la nature. Et l'a conduit à imaginer une nouvelle particule puis à prendre conscience qu'elle devait nécessairement exister. [p. 428]
Le prix Nobel 2017 de physique a été décerné pour la détection d'un autre effet ahurissant prédit par la relativité générale : les ondes gravitationnelles. La théorie montrait que deux trous noirs gravitant l'un autour de l'autre feraient tournoyer l'espace-temps tout autour, en l'étirant et en le comprimant de façon cadencée. Selon la prédiction, la perturbation résultante de la trame de l'espace-temps se propagerait vers l'extérieur comme une ondulation filant à la vitesse de la lumière. Einstein doutait qu'il soit un jour possible de mesurer une telle onde ; il craignait d'avoir affaire à une illusion mathématique. Ce qu'ont accompli les lauréats du prix Nobel cette année-là, c'est la conception et la construction du détecteur le plus sensible jamais réalisé. Le 14 septembre 2015, leur appareil a détecté un frémissement de l'espace-temps mille fois plus petit que le diamètre d'un proton. [p. 430] »

4. «  Là résidait la puissance des séries entières. Elles permettaient à Newton de résoudre une infinité de problèmes d'un coup.
Répétons-le, il n'aurait jamais rien fait de tel sans s'être hissé sur les épaules de géants. Il a unifié, synthétisé et généralisé les idées de ses illustres prédécesseurs : il a hérité du Principe de l'infini d'Archimède. Il a tiré ses droites tangentes de Fermat. Ses décimales lui sont venues d'Inde et ses variables, de l'algèbre arabe. La représentation des courbes sous forme d'équations sur le plan xy était issue des travaux de Descartes. Ses combines free-style avec l'infini, son esprit d'expérimentation et sa disposition pour la conjecture et l'induction lui sont venus de Wallis. Il a mixé tout ça pour créer quelque chose de neuf, quelque chose qui nous permet encore aujourd'hui de résoudre les problèmes de calcul infinitésimal : la méthode polyvalence des séries entières. » (p. 286)

2. « On ne connaissait pas une copie de la Méthode [d'Archimède] ayant survécu au Moyen-Âge. Léonard de Vinci, Galilée, Newton et d'autres génies de la Renaissance ont eu beau éplucher ce qui restait des traités d'Archimède, ils n'ont pas eu l'occasion de lire la Méthode. On la pensait perdue à jamais.
Et puis, miracle, on l'a trouvée.
En octobre 1998, un vieux bréviaire médiéval a été vendu aux enchères chez Christie's à un collectionneur anonyme pour 2,2 millions de dollars. À peine visibles sous les prières en latin se trouvaient de pâles diagrammes géométriques et des textes mathématiques rédigés en grec au Xe siècle. Il s'agit d'un palimpseste ; au XIIIe siècle, ses pages de parchemin avaient été grattées et nettoyées du grec d'origine puis couvertes de textes liturgiques latins. Par bonheur, le grec n'avait pas été complètement effacé. C'est la seule copie existante de la Méthode d'Archimède. » (p. 93)

6. « Quel avenir attend alors le calcul infinitésimal ? […] je crois pouvoir sereinement avancer que plusieurs tendances se distingueront dans les années qui viennent, et notamment :
- de nouvelles applications du calcul infinitésimal dans les sciences sociales, la musique, les arts et les lettres
- les applications déjà en cours du calcul infinitésimal dans la médecine et la biologie
- la gestion des aléas inhérents à la finance, à l'économie et à la météorologie
- le calcul infinitésimal au service du big data et réciproquement
- les constantes difficultés posées par la non-linéarité, le chaos et la complexité des systèmes
- les collaborations croissantes entre le calcul infinitésimal et les ordinateurs, intelligence artificielle comprise
- l'extension des limites du calcul infinitésimal dans le domaine des quanta. » (pp. 391-392)

1. « Le calcul infinitésimal est un royaume imaginaire de symboles et de logique ; la nature est un royaume réel de forces et de phénomènes. Pourtant, si l'on maîtrise l'art de traduire le réel en symboles, la logique du calcul infinitésimal peut s'emparer d'une vérité du monde réel pour en générer une autre. On introduit une vérité, une autre ressort. On part d'une chose empiriquement vraie et formulée symboliquement (pour Maxwell, ce furent les lois de l'électricité et du magnétisme), on applique les manipulations logiques qui conviennent, et on obtient une autre vérité empirique, possiblement nouvelle, peut-être un fait de l'univers dont nul n'avait connaissance (l'existence des ondes électromagnétiques). De cette façon, le calcul infinitésimal nous permet d'entrevoir l'avenir et de prédire l'inconnu. » (pp. 15-16)

3. « […] le problème de l'aire ne concerne pas que l'aire. Il ne concerne pas que la forme, la relation entre distance et vitesse ni quoi que ce soit d'aussi étroit. Il est tout à fait général. Du point de vue moderne, le problème de l'aire consiste à prédire la relation entre tout ce qui change et un certain taux de variation et à quel point cette chose se développe dans le temps. Il traite des entrées fluctuantes d'argent sur un compte en banque et du solde qui s'y accumule. Il traite du taux de croissance de la population mondiale et du nombre net d'habitants de la planète. Il traite de la concentration changeante d'un médicament dans le sang d'un patient en chimiothérapie et de son exposition cumulée à ce médicament dans le temps. […] L'aire est importante parce que l'avenir est important. » (p. 272)

C'est par une généralisation en trois dimensions de cette méthode qu'Archimède (mais aussi Eudoxe avant lui, vers 400 av. J.-C.) a calculé le volume de plusieurs solides en se les représentant comme des piles de nombreuses lamelles ou de nombreux disques, comme un salami tranché fin.

5. « De manière générale, les travaux de Fourier [sur les ondes sinusoïdales, au début du XIXe s.] ont été le premier pas vers l'utilisation du calcul infinitésimal comme augure capable de prédire la façon dont un continuum de particules va se mouvoir et varier. C'était un progrès considérable par rapport à ceux de Newton sur le mouvement d'ensembles discrets de particules. Au cours des siècles suivants, les chercheurs étendraient les méthodes de Fourier à la prévision d'autres milieux continus, comme le flottement d'une aile de Boeing 787, l'aspect d'un patient après une opération maxillo-faciale ou les gargouillements du sol après un séisme. Ces techniques sont aujourd'hui omniprésentes dans les sciences et l'ingénierie. » (pp. 368-369)

Un infinitésimal est une chose nébuleuse. C'est censé être le plus petit nombre imaginable différent de zéro. Plus simplement, un infinitésimal est plus petit que tout, mais plus grand que rien.