Élève de la célèbre école d’horticulture de Paris, l’École du Breuil, Claude Bureaux est entré au Jardin de plantes de Paris à l’âge de 17 ans, en 1964, comme aide-jardinier.
Il est ensuite devenu maître-jardinier en 1986. Une responsabilité qu’il a assurée jusqu’en 2003.
En 2005, Claude Bureaux a été responsable de la mission et de la diffusion des connaissances, de l'action éducative et de la communication du Jardin des plantes de Paris et de l'Arboretum national de Chèvreloup au sein du département des jardins botaniques et zoologiques du Muséum National d'histoire naturelle.
Il a été également membre du jury au 12e grand prix de l'environnement ainsi que de l'Association des jardiniers des monuments historiques.
Auteur de plusieurs ouvrage sur le jardin, il est conférencier et chroniqueur dans divers médias notamment sur France Info.