Norbert Verdier

Trois grands problèmes dominent la mathématique grecque : peut-on, à l'aide d'une règle et d'un compas, 1) construire un carré de même aire qu'un disque donné ? 2) Diviser un angle en trois angles égaux ? 3) Construire un cube dont le volume est le double d'un cube donné ?
Ces problèmes dénommés la quadrature du cercle, la trisection de l'angle et la duplication du cube sont entrés dans la légende (...). Pendant des siècles, les trois énigmes de l'Antiquité grecque furent livrées à la sagacité des mathématiciens, sans succès. Au XIXe siècle enfin, le verdict tomba : les trois constructions sont impossibles.

Un siècle plus tard, dans les années 1970, l'ingénieur hongrois Ernö Rübik récidiva en créant une sorte de taquin à trois dimensions : le Rubik's cube. Ce cube est constitué de petits cubes de différentes couleurs, qui peuvent pivoter. Il faut, par des pivotements successifs, faire en sorte que chaque face du "gros" cube ne présente plus qu'une seule couleur. Des millions d'exemplaires du Rubik's cube furent vendus. Tous ceux qui passèrent des heures à le manipuler se doutaient-ils qu'ils se confrontaient à la théorie des groupes de permutations ?

On peut dire en effet qu'Évariste Galois est aux mathématiques ce que Rimbaud est à la littérature.

Au fil des découvertes de nouvelles structures (groupe, anneau, corps, ...) effectuées en particulier par l'école mathématique allemande, l'algèbre, autrefois science des équations, devient la science des structures. L'ensemble des connaissances en algèbre ne descend plus de la phrase de Pythagore "Tout est nombre", mais d'une nouvelle affirmation "Tout est structure".
L'algèbre créée par Galois présente en effet un énorme avantage : dès que l'on démontre une propriété relative à une structure donnée (un groupe, par exemple), on peut utiliser cette propriété sans la redémontrer chaque fois que l'on reconnaît cette structure (groupe de nombres, de fonctions, de vecteurs, etc.). Galois a ainsi ouvert la voie à une mathématique économe en démonstrations et unificatrice (les structures ne dépendent plus des objets, mais des relations entre les objets).

Dans cette table d'opérations, nous constatons que la composition de deux éléments quelconques des six substitutions donne toujours l'une des six substitutions. La substitution identité Id joue aussi un rôle particulier, semblable à celui du nombre 1 dans la multiplication: composer une substitution avec Id ne change rien, tout comme la multiplication d'un nombre par 1 ne change pas le résultat. En outre, chaque substitution peut toujours être composée avec une autre pour retomber sur Id, de la même façon que tout nombre non nul admet un inverse, c'est-à-dire un nombre tel que le produit des deux nombres soit égal à 1. On dit que toute substitution admet un symétrique. (...). Galois nomme groupe un tel ensemble de substitutions. Voici comme il caractérise un groupe: "Si dans un pareil groupe on a les substitutions S et T, on est sûr d'avoir la substitution ST." En d'autres termes, un groupe (fini) est un ensemble où le composition de deux éléments est un élément du groupe, un ensemble dans lequel "on reste entre soi" par la loi se composition; cette notion n'est pas si éloignée de conception habituelle de groupe.

[extrait du Manifeste pour une réforme de l'enseignement des mathématique. Evariste Galois in Gazette des Écoles, 2 janvier 1831]:
N'y aurait-il pas quelques avantages à exiger des élèves les mêmes méthodes, les mêmes calculs, les mêmes formes de raisonnement, s'ils étaient à la fois plus simples et plus féconds? Mais non, on enseignement minutieusement des théories tronquées et chargées de réflexions inutiles, tandis qu'on omet les propositions les plus simples et les plus brillantes de l'algèbre; au lieu de cela, on démontre à grands frais de calculs et de raisonnements toujours longs, quelquefois faux, des corollaires dont la démonstration se fait d'elle-même.
D'où vient le mal? Assurément ce n'est pas des professeurs des collèges; ils montrent toujours un zèle fort louable; ils sont les premiers à gémir de ce qu'on ait fait de l'enseignement des mathématiques un véritable métier. La cause du mal, c'est aux libraires de Messieurs les examinateurs qu'il faut la demander. Les libraires veulent des gros volumes: plus il y a de choses dans les ouvrages des examinateurs, plus ils sont certains d'une vente fructueuse; voilà pourquoi nous voyons apparaître chaque année ces volumineuses compilations où l'on voit les travaux des grands maîtres à côté des essais de l'écolier. D'un autre côté, pourquoi les examinateurs ne posent-ils les questions aux candidats que d'une manière entortillées? Il semblerait qu'ils craignissent d'être compris de ceux qu'ils interrogent; d'où vient cette malencontreuse habitude de compliquer les questions de difficultés artificielles? Croit-on donc la science trop facile? Aussi qu'arrive-t-il? L'élève est moins occupé de s'instruire que de passer un examen.