Hilbert

Une bonne solution est rigoureuse et, par là même, simple. La rigueur n'est pas l'ennemie de la simplicité: au contraire, "la recherche de la rigueur conduit toujours à découvrir des raisonnements plus simples et ouvre aussi la voie à des méthodes plus fécondes que les anciennes".

Kronecker veut éliminer l'infini actuel des mathématiques. Sa formule est célèbre:
" Dieu a créé les nombres entiers, l'homme fait le reste"
...
Lorsque Lindemann propose une démonstration de la transcendance de pi, Kronecker lui demande franchement:
" A quoi sert votre belle recherche sur le nombre pi? Pourquoi étudier de pareils problèmes puisque les nombres irrationnels n'existent pas?"

En 1900, Hilbert est un mathématicien reconnu. Il envisage un exposé assez général sur la science mathématique [au 2eme congrès international de mathématiques, Paris]. Il consulte Minkowski qui lui suggère une direction:

" Il serait intéressant de regarder dans le futur et de faire une liste des problèmes sur lesquels les mathématiciens travailleront dans le siècle qui vient. Avec un tel sujet, on parlera encore de ton exposé dans plusieurs décennies."

Hilbert suit le conseil de Minkowski... La conférence de 1900 est consacrée à la présentation de 23 problèmes [plusieurs sont encore non-résolus à ce jour]

Maintenant, les démonstrations peuvent, en toute rigueur, faire abstraction du sens des termes ou du contenu des notions. Elles sont purement formelles. Elles ne consistent qu'en des manipulations de signes, selon des règles convenues. Ces règles indiquent comment transformer une formule pour en déduire une autre formule. Une démonstration est un dessin, une suite de signes, dont les premières lignes sont des axiomes et dans lequel le passage d'une ligne à l'autre est déterminé par des règles explicites. Chacun peut contrôler une démonstration et vérifier qu'elle est correcte.

En somme, alors que l’œuvre de Hilbert apparaît, de l'extérieur, comme une série de problèmes résolus dans différents domaines, elle prend unité dès que l'on considère la méthode. Et cette méthode, que Hilbert applique à différents domaines, est la méthode abstraite qui émerge de l'algèbre. L’œuvre de Hilbert est l'extension, dans différents domaines, et la radicalisation de la méthode abstraite.

A l'automne 1880, Hilbert s'inscrit à l'université de sa ville natale...L'université de Königsberg, qui a notamment accueilli Kant, est l'une des plus anciennes et des plus réputées d'Allemagne. Le cursus est de quatre ans. Les étudiants sont laissés entièrement libres. Ils choisissent les cours auxquels ils assistent et passent en général plusieurs semestres dans d'autres universités. Il n'y a aucun contrôle avant l'examen final, à l'issue des quatre ans.