Hilbert

On méconnaît grandement l'incroyable puissance mathématique que l'Allemagne a produite, en particulier le creuset de génies qu'a été l'université de Göttingen. On pourrait constituer une mythologie : Gauss en Père des Dieux, Riemann et Dedekind en fils divins, Hilbert et Minkowski en petits-fils elfiques, et puis les héros Bohr, Gentzen, Courant, von Neumann, Weyl, j'en oublie. Les plus jeunes fuiront l'Allemagne nazie pour les Etats-Unis et décupleront la force de recherche fondamentale de ce pays.

Dans ce Panthéon, Hilbert tient de son aïeul Gauss : c'est un touche-à-tout des mathématiques, mais un touche-à-tout qui a une méthode, une vision : le programme formaliste. Il va s'appuyer sur l'invention par Dedekind des structures algébriques (anneaux, corps, idéal) - ces constructions merveilleuses qui concentrent des propriétés partagées par un tas d'objets très différents, nombres, fonctions, etc., et pointent ainsi leur lien de parenté – s'approprier sa volonté d'abstraction et tenter de définir avec la plus grande rigueur l'ensemble des mathématiques à partir d'un petit jeu d'axiomes et de règles de logique :

« Pour Hilbert, la force du programme formaliste tient à ce que celui-ci rétablit les lois logiques et donne aux mathématiques un fondement possédant une rigueur mathématique et dépourvu de présupposés extérieurs aux mathématiques. »

Cette vision mécaniste à laquelle j'adhère allègrement se heurtera à une opposition forte, d'une part d'ordre philosophique (plutôt épistémologique) à travers le courant intuitionniste (« les constructions, qui déterminent les mathématiques intuitionnistes, sont celles que l'on reconnaît possibles, susceptibles d'être effectivement réalisées par une conscience temporelle, ce qui implique, par exemple, qu'elles ne comportent qu'un nombre fini d'étapes. ») et d'autre part plus sérieusement d'ordre logique, cette construction ne pouvant éliminer certains paradoxes.

Le livre passe rapidement sur la vie, assez lisse, du savant et sur ses divers travaux pour se focaliser sur cette volonté de reconstruire rigoureusement l'ensemble des mathématiques. Aucune formule, aucune démonstration formelle n'est écrite. Tout est expliqué en français, avec de longues phrases, repris plusieurs fois pour permettre une meilleure digestion des concepts. le terrain exploré est essentiellement mathématique mais un rapport avec certaines branches de la philosophie, comme le rationalisme, est exprimé.

Un très bon moment de culture scientifique.