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ISBN : 2251760369
Éditeur : Les Belles Lettres (09/04/2001)

Note moyenne : 4/5 (sur 1 notes)
Résumé :
David Hilbert (1862-1943) est l'un de ces géants dont la figure domine l'histoire des mathématiques et marque le seuil d'une époque nouvelle. Il parcourt et transforme toutes les mathématiques, portant attention non plus à la nature des objets, la nature de l'espace en géométrie ou celle du nombre en arithmétique, mais à la structure des domaines. Ainsi, s'ouvre l'époque "abstraite" où, en France, grandira, par exemple, le groupe Bourbaki.
Hilbert a indiqué d... >Voir plus
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Critiques, Analyses & Avis (1) Ajouter une critique
Relax67
  02 avril 2014
On méconnaît grandement l'incroyable puissance mathématique que l'Allemagne a produite, en particulier le creuset de génies qu'a été l'université de Göttingen. On pourrait constituer une mythologie : Gauss en Père des Dieux, Riemann et Dedekind en fils divins, Hilbert et Minkowski en petits-fils elfiques, et puis les héros Bohr, Gentzen, Courant, von Neumann, Weyl, j'en oublie. Les plus jeunes fuiront l'Allemagne nazie pour les Etats-Unis et décupleront la force de recherche fondamentale de ce pays.
Dans ce Panthéon, Hilbert tient de son aïeul Gauss : c'est un touche-à-tout des mathématiques, mais un touche-à-tout qui a une méthode, une vision : le programme formaliste. Il va s'appuyer sur l'invention par Dedekind des structures algébriques (anneaux, corps, idéal) - ces constructions merveilleuses qui concentrent des propriétés partagées par un tas d'objets très différents, nombres, fonctions, etc., et pointent ainsi leur lien de parenté – s'approprier sa volonté d'abstraction et tenter de définir avec la plus grande rigueur l'ensemble des mathématiques à partir d'un petit jeu d'axiomes et de règles de logique :
« Pour Hilbert, la force du programme formaliste tient à ce que celui-ci rétablit les lois logiques et donne aux mathématiques un fondement possédant une rigueur mathématique et dépourvu de présupposés extérieurs aux mathématiques. »
Cette vision mécaniste à laquelle j'adhère allègrement se heurtera à une opposition forte, d'une part d'ordre philosophique (plutôt épistémologique) à travers le courant intuitionniste (« les constructions, qui déterminent les mathématiques intuitionnistes, sont celles que l'on reconnaît possibles, susceptibles d'être effectivement réalisées par une conscience temporelle, ce qui implique, par exemple, qu'elles ne comportent qu'un nombre fini d'étapes. ») et d'autre part plus sérieusement d'ordre logique, cette construction ne pouvant éliminer certains paradoxes.
Le livre passe rapidement sur la vie, assez lisse, du savant et sur ses divers travaux pour se focaliser sur cette volonté de reconstruire rigoureusement l'ensemble des mathématiques. Aucune formule, aucune démonstration formelle n'est écrite. Tout est expliqué en français, avec de longues phrases, repris plusieurs fois pour permettre une meilleure digestion des concepts. le terrain exploré est essentiellement mathématique mais un rapport avec certaines branches de la philosophie, comme le rationalisme, est exprimé.
Un très bon moment de culture scientifique.
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Citations & extraits (6) Voir plus Ajouter une citation
Relax67Relax67   31 mars 2014
En 1900, Hilbert est un mathématicien reconnu. Il envisage un exposé assez général sur la science mathématique [au 2eme congrès international de mathématiques, Paris]. Il consulte Minkowski qui lui suggère une direction:

" Il serait intéressant de regarder dans le futur et de faire une liste des problèmes sur lesquels les mathématiciens travailleront dans le siècle qui vient. Avec un tel sujet, on parlera encore de ton exposé dans plusieurs décennies."

Hilbert suit le conseil de Minkowski... La conférence de 1900 est consacrée à la présentation de 23 problèmes [plusieurs sont encore non-résolus à ce jour]
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Relax67Relax67   04 avril 2014
Maintenant, les démonstrations peuvent, en toute rigueur, faire abstraction du sens des termes ou du contenu des notions. Elles sont purement formelles. Elles ne consistent qu'en des manipulations de signes, selon des règles convenues. Ces règles indiquent comment transformer une formule pour en déduire une autre formule. Une démonstration est un dessin, une suite de signes, dont les premières lignes sont des axiomes et dans lequel le passage d'une ligne à l'autre est déterminé par des règles explicites. Chacun peut contrôler une démonstration et vérifier qu'elle est correcte.
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Relax67Relax67   31 mars 2014
Kronecker veut éliminer l'infini actuel des mathématiques. Sa formule est célèbre:
" Dieu a créé les nombres entiers, l'homme fait le reste"
...
Lorsque Lindemann propose une démonstration de la transcendance de pi, Kronecker lui demande franchement:
" A quoi sert votre belle recherche sur le nombre pi? Pourquoi étudier de pareils problèmes puisque les nombres irrationnels n'existent pas?"
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Relax67Relax67   30 mars 2014
A l'automne 1880, Hilbert s'inscrit à l'université de sa ville natale...L'université de Königsberg, qui a notamment accueilli Kant, est l'une des plus anciennes et des plus réputées d'Allemagne. Le cursus est de quatre ans. Les étudiants sont laissés entièrement libres. Ils choisissent les cours auxquels ils assistent et passent en général plusieurs semestres dans d'autres universités. Il n'y a aucun contrôle avant l'examen final, à l'issue des quatre ans.
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Relax67Relax67   01 avril 2014
En somme, alors que l’œuvre de Hilbert apparaît, de l'extérieur, comme une série de problèmes résolus dans différents domaines, elle prend unité dès que l'on considère la méthode. Et cette méthode, que Hilbert applique à différents domaines, est la méthode abstraite qui émerge de l'algèbre. L’œuvre de Hilbert est l'extension, dans différents domaines, et la radicalisation de la méthode abstraite.
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Vidéo de Pierre Cassou-Noguès
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