La Science et l'Hypothèse

Le jugement sur lequel repose le raisonnement par récurrence peut être mis sous d’autres formes ; on peut dire par exemple que dans une collection infinie de nombres entiers différents, il y en a toujours un qui est plus petit que tous les autres.

Je joue avec un monsieur que je ne connais pas ; il a donné dix fois et il a tourné six fois le roi ; quelle est la probabilité que ce soit un grec ?

Peu nous importe que l'éther existe réellement, c'est l'affaire des métaphysiciens ; l'essentiel pour nous c'est que tout se passe comme s'il existait et que cette hypothèse est commode pour l'explication es phénomènes. Après tout, avons-nous d'autre raison de croire à l'existence des objets matériels ? Ce n'est là aussi qu'une hypothèse commode ; seulement elle ne cessera jamais de l'être, tandis qu'un jour viendra sans doute où l'éther sera rejeté comme inutile.

La possibilité même de la science mathématique semble une contradiction insoluble. Si cette science n'est déductive qu'en apparence, d'où lui vient cette parfaite rigueur que personne ne songe à mettre en doute ? Si, au contraire, toutes les propositions qu'elle énoncent peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle, comment la mathématique ne se réduit-elle pas à une immense tautologie ?

D'où viennent les premiers principes de la géométrie ? Nous sont-ils imposés par la logique ? Lobatchevsky a montré que non en créant les géométries non euclidiennes. L'espace nous est-il révélé par nos sens ? Non encore, car celui que nos sens pourraient nous montrer diffère absolument de celui du géomètre. La géométrie dérive-t-elle de l'expérience ? Une discussion approfondie nous montrera que non. Nous conclurons donc que ses principes ne sont que des conventions ; mais ces conventions ne sont pas arbitraires, et, transportés dans un autre monde (que j'appelle le monde non euclidien et que je chercher à imaginer), nous aurions été amenés à en adopter d'autres.

J'admets qu'on puisse mesurer l'accélération, parce que je passe sur la difficulté provenant de la mesure du temps. Mais comment mesurer la force, ou la masse ? Nous ne savons même pas ce que c'est.

Il ne reste donc rien et nos efforts ont été infructueux ; nous sommes acculés à la définition suivante, qui n'est qu'un aveu d'impuissance : "Les masses sont des coefficients qu'il est commode d'introduire dans les calculs".

Toute généralisation est une hypothèse [...], elle doit toujours être, le plus tôt possible et le plus souvent possible, soumise à la vérification.

Les mathématiques peuvent comme les autres sciences procéder du particulier au général

Les mathématiciens s'efforcent toujours de généraliser les propositions qu'ils ont obtenues