Les principes du calcul infinitésimal

Pour faire mieux comprendre l'idée de l'indéfini et la façon dont celui-ci se forme à partir du fini entendu dans son acception ordinaire, on peut considérer un exemple tel que celui de la suite des nombres : dans celle-ci, il n'est évidemment jamais possible de s'arrêter en un point déterminé, puisque, après tout nombre, il y en a toujours un autre qui s'obtient en lui ajoutant l'unité ; par conséquent, il faut que la limitation de cette suite indéfinie soit d'un autre ordre que celle qui s'applique à un ensemble défini de nombres, pris entre deux nombres déterminés quelconques; il faut donc qu'elle tienne, non pas à des propriétés particulières de certains nombres,
mais à la nature même du nombre dans toute sa généralité, c'est-à-dire à la détermination qui, constituant essentiellement cette nature, fait à la fois que le nombre est ce qu'il est et qu'il n'est pas toute autre chose.

Il y a d’ailleurs, comme nous le verrons, une distinction à faire entre les cas où le soi-disant infini n’exprime qu’une absurdité pure et simple, c’est‑à-dire une idée contradictoire en elle-même, comme celle du « nombre infini », et ceux où il est seulement employé d’une façon abusive dans le sens d’indéfini ; mais il ne faudrait pas croire pour cela que la confusion même de l’infini et de l’indéfini se réduise à une simple question de mots, car elle porte bien véritablement sur les idées elles-mêmes. Ce qui est singulier, c’est que cette confusion, qu’il eût suffi de dissiper pour couper court à tant de discussions, ait été commise par Leibnitz lui-même, qui est généralement regardé comme l’inventeur du calcul infinitésimal, et que nous appellerions plutôt son « formulateur », car cette méthode correspond à certaines réalités, qui, comme telles, ont une existence indépendante de celui qui les conçoit et qui les exprime plus ou moins parfaitement ; les réalités de l’ordre mathématique ne peuvent, comme toutes les autres, qu’être découvertes et non pas inventées, tandis que, par contre, c’est bien
d’« invention » qu’il s’agit quand, ainsi qu’il arrive trop souvent dans ce domaine, on se laisse entraîner, par le fait d’un « jeu » de notation, dans la fantaisie pure ; mais il serait assurément bien difficile de faire comprendre cette différence à des mathématiciens qui s’imaginent volontiers que toute
leur science n’est et ne doit être rien d’autre qu’une « construction de l’esprit humain », ce qui, s’il fallait les en croire, la réduirait certes à n’être que bien peu de chose en vérité !

[...] contrairement à l’opinion courante, d’après laquelle l’analyse serait en quelque sorte préparatoire à la synthèse et conduirait à celle-ci, si bien qu’il faudrait toujours commencer par l’analyse, même quand on n’entend pas s’en tenir là, la vérité est qu’on ne peut jamais parvenir effectivement à la synthèse en partant de l’analyse ; toute synthèse, au vrai sens de ce mot, est pour ainsi dire quelque chose d’immédiat, qui n’est précédé d’aucune analyse et en est entièrement indépendant, comme l’intégration est une opération qui s’effectue d’un seul coup et qui ne présuppose nullement la considération d’éléments comparables à ceux d’une somme arithmétique ; et, comme cette somme arithmétique ne peut donner le moyen d’atteindre et d’épuiser l’indéfini, il est, dans tous les domaines, des choses qui résistent par leur nature même à toute analyse et dont la connaissance n’est possible que par la seule synthèse.

“[...] Sans entrer encore dans la question de la « composition du continu », on voit donc que le nombre, quelque extension qu’on donne à sa notion, ne lui est jamais parfaitement applicable : cette application revient en somme toujours à remplacer le continu par un discontinu dont les intervalles peuvent être très petits, et même le devenir de plus en plus par une série indéfinie de divisions successives, mais sans jamais pouvoir être supprimés, car, en réalité, il n’y a pas de « derniers éléments » auxquels ces divisions puissent aboutir, une quantité continue, si petite qu’elle soit, demeurant toujours indéfiniment divisible. C’est à ces divisions du continu que répond proprement la considération des nombres fractionnaires ; mais, et c’est là ce qu’il importe particulièrement de remarquer, une fraction, si infime qu’elle soit, est toujours une quantité déterminée, et entre deux fractions, si peu différentes l’une de l’autre qu’on les suppose, il y a toujours un intervalle également déterminé.”