L'axiomatique

p. 53 Systèmes affaiblis ou saturés.
Au lieu de modifier, dans un système de postulats compatibles et indépendants, l'un d'eux, on peut aussi essayer de simplement le retirer, sans toucher aux autres? On affaiblit ainsi le système, puisqu'on lui ôte certaines déterminations ; par là même on l'élargit, en ouvrant la porte à certaines possibilités que le postulat qu'on vient d'extraire avait précisément pour effet d'exclure. En d'autres termes, le système se trouve ainsi appauvri en compréhension et enrichi en extension. Si, par exemple, en maintenant intacts les autres postulats euclidiens, on nie l'unicité de la parallèle, on obtient la géométrie lobatchevskienne qui, différente de celle d'Euclide, a néanmoins le même degré de particularité. Mais si, au contraire, on laisse complètement indéterminé le nombre des parallèles possibles, c'est-à-dire si, au lieu de remplacer le postulat concernant les parallèles, on se contente de le prélever, en creusant en quelque sorte un vide dans le systèmes, alors on obtient les principes d'une géométrie plus générale, dont celles d'Euclide et de Lobatchevski apparaissent comme des cas particuliers.
On peut tenter l'opération inverse : essayer de renforcer et de limiter un système donnée, en lui ajoutant un ou plusieurs postulats, indépendants des premiers? Toutefois, on se heurte ordinairement assez vite à un obstacle : vient un moment où l'adjonction de tout postulat indépendant, quel qu'il soit, rend le système contradictoire. Le système est alors saturé. Tel est le cas, par exemple, de la géométrie euclidienne - pourvu, bien entendu, qu'on n'y compte pas comme postulats additionnels ceux qui, sans être d'abord expressément formulés, n'en étaient pas moins implicitement admis dans les démonstrations.

p. 99 A la question: comment la raison peut -elle, sans le secours de l'expérience, nous faire connaître des propriétés du réel? On répondra désormais comme fait Einstein au début de son opuscule sur La géométrie et l'expérience : "La parfaite clarté sur ce point me semble avoir été mise à la portée de chacun, grâce au courant que les mathématiciens nomment l'axiomatique. Le progrès réalisé par l'axiomatique consiste en une claire et nette séparation de l'intuitif et du logique : d'après l'axiomatique, seuls les faits logiques et formels forment l'objet de la science mathématique, mais non l'élément intuitif qui peut s'y rattacher."