Variables excentriques... au propre et au figuré

Préface

Le développement des mathématiques est motivé par l'impulsion humaine de trouver des explications transparentes aux relations quantitatives observées. Ce désir est bien différent de celui qui anime la recherche des lois régissant les phénomènes observables de la nature. Il provient plutôt d'une intuition que plusieurs relations disparates ont en fait une cause commune, une intuition qui épie une structure élégante dans sa simplicité et forte dans sa capacité de résolution. C'est ce même goût pour la beauté universelle qui a guidé l'auteur vers le sujet des variables excentriques.

Depuis le début des explorations mathématiques, les symétries ont joué un rôle intégrateur, que ce soit dans l'étude des solides platoniques, du triangle de Pascal, de la géométrie selon Felix Klein, ou des symétries des équations différentielles par Sophus Lie. Dans chaque cas, les symétries permettaient la découverte de structures unificatrices cachées derrière un problème abstrait.

Dans ce joli recueil de Cornéliu Tocan, l'enseignant attentif et l'étudiant curieux retrouveront un jardin de symétries cachées. L'auteur encourage, à travers une foule d'exemples bien choisis, l'identification de symétries algébriques invisibles permettant la résolution élégante de problèmes d'apparence complexe.

Les symétries que M. Tocan identifie s'expriment à l'aide de choix de variables, absentes dans la formulation initiale du problème, qu'il nomme variables excentriques. En plus du petit jeu de mots que de nombreux scientifiques des mathématiques et de la physique se permettent, comme le groupe dénommé « le Monstre » de John Conway, les graphes intitulés « dessins d'enfants » d'Alexandre Grothendieck ou les pittoresques « saveurs » poétiques « beauté », « vérité », « étrange » et « charme » des « quarks » (à leur tour d'inspiration littéraire), porteurs de « couleur », du physicien Gell-Mann, le mot excentrique réfère à la mesure par rapport à un centre.

Le lecteur studieux sera récompensé par la découverte d'une astucieuse technique de résolution adaptée à plusieurs problèmes déjà bien connus: sommes de suites arithmétiques finies, produits d'expressions algébriques, le calcul des racines pour des polynômes du second degré, calculs d'aires et de périmètres pour des carrés et des triangles. L'auteur retrouve de nombreuses connexions avec des sujets à la portée de lecteurs au secondaire, mais à l'extérieur du cursus scolaire habituel, comme l'équation de Pell-Fermat, les triangles héroniens ou de nombreuses identités classiques, dont celles de Legendre.

M. Tocan nous enseigne graduellement à reconnaître les symétries du problème et à bien choisir les variables élémentaires pour l'expression des contraintes. le résultat est généralement un système d'équations plus simple, mais plus encore, les variables excentriques témoignent d'une symétrie avec un fondement algébrique ou géométrique riche de sens.

Marc Laforest, Ph. D.
Professeur
Polytechnique Montréal
Département de mathématiques et de génie industriel