Merveilleux nombres premiers

Merveilleux nombres premiers/Jean Paul Delahaye
C'est à un véritable voyage au coeur de l'arithmétique que nous convie J.P.Delahaye dans ce livre très complet.
De nombreuses questions se posent souvent sans réponse :
quelle régularité existe–t-il dans la succession 2,3,5,7,11,13 etc… ? Aucune. Même en considérant un milliard de nombres premiers découverts à ce jour, rien qui puisse rendre prévisible le suivant. le mystère reste entier.
Un rappel élémentaire pour bien comprendre : tout nombre entier se décompose en un produit de facteurs premiers.
Euclide a démontré qu'il n'y a pas de plus grand nombre premier, donc la suite est infinie.
Il existe des nombres premiers comportant plus d'un million de chiffres. Il existe des théorèmes pour savoir si un très grand nombre est premier. (Théorème de Proth) ainsi que des tests comme l'algorithme déterministe polynomial de Miller-Bach et l'algorithme théorique de Adleman-Huang.
Les nombres premiers sont très utiles car ils sont au coeur des systèmes de correction d'erreur dans les ordinateurs et des techniques de cryptage d'information.
Pour la petite histoire, on a souvent attribué des propriétés mystérieuses ou magiques à certains nombres premiers, comme le 7 et le 13.
Il existe des calculateurs prodiges qui sont capables de détecter immédiatement la primalité d'un nombre. Un certain nombre d'exemples étonnants et d'anecdotes est décrit.
L'auteur nous propose une historique très intéressante des nombres premiers. Ce sont Platon (428-348 av JC) et Aristote (384-322 av JC) les premiers qui mentionnèrent dans leurs écrits l'existence des nombres premiers. Et puis il y eut Euclide (330-275 av JC) qui a inventé les mathématiques telles que nous les utilisons aujourd'hui.
De nombreux mathématiciens se sont penchés sur la primalité de certains nombres, tels que Pierre de Fermat, Blaise Pascal, Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss, Bernhard Riemann.
Une question s'est posée depuis que l'on sait détecter de très grands nombres premiers : La densité des nombres premiers décroît-elle vers zéro quand on considère des entiers de plus en plus grands ou bien la proportion est-elle constante ? Il semble avec le théorème de raréfaction de Hadamard-De la Vallée Poussin que la proportion décroisse.
Le théorème de raréfaction de Legendre admet lui une densité limite nulle.
Toutefois la conjecture de Riemann incite à la prudence et à l'humilité.
On peut dire pour faire simple que les nombres premiers semblent arriver au hasard en se raréfiant en allant vers l'infini.
Un livre passionnant tout au long des 330 pages dont la lecture ne requiert pas un bagage mathématique particulier, si ce n'est pour un ou deux passages de démonstration dont on peut se passer pour poursuivre.