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EAN : 9782842450175
336 pages
Éditeur : Editions Belin (09/03/2000)
4.05/5   10 notes
Résumé :
Rappelez-vous vos souvenirs de mathématiques : un nombre premier est un nombre qui n'admet aucun autre diviseur que lui... et pour commencer le nombre 1. Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, etc. Combien y en a-t-il ? Sans doute une infinité. Comment peut-on les trouver ? Divers algorithmes sont employés depuis trois siècles et l'on en est actuellement à chercher (par ordinateur interposé) des nombres premiers de ... >Voir plus
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Citations et extraits (1) Ajouter une citation
SZRAMOWOSZRAMOWO   08 février 2015
Tout nombre entier supérieur à 1 s’écrit de manière unique (à l’ordre près) sous la forme d’un produit de nombres premiers.
Contentons-nous pour l’instant de démontrer l’existence de cette décomposition pour tout nombre entier. Nous allons utiliser pour cela la forme 2 du raisonnement par récurrence. Initialisation : 2 s’écrit comme produit de nombres premiers, car 2 = 2 (par convention, un nombre seul est considéré comme un produit d’un facteur).
Soit n un entier supérieur à 2. Supposons que tous les entiers entre 2 et n – 1 s’écrivent comme produit de nombres premiers (hypothèse de récurrence), et montrons que cela est aussi vrai pour n.
Nous savons (d’après la proposition selon laquelle tout nombre supérieur à 1 est divisible par un nombre premier) que n est divisible par un nombre premier p. Donc n = q x p avec 1 < p ≤ n.
Si p = n (et q = 1), c’est terminé, car le nombre premier p est un produit de nombres premiers.
Si p est inférieur à n, alors q est compris entre 2 et n – 1 et, d’après l’hypothèse de récurrence, q est un produit
de nombres premiers. Par conséquent, n l’est aussi, puisqu’il est le produit de q par le nombre premier p. Cela clôt la démonstration.
Ce théorème de décomposition en facteurs premiers se traduit immédiatement en algorithme pour la décomposition des nombres et la recherche de leurs diviseurs : tenter toutes les divisions de a par les nombres premiers entre 2 et √a ; dès qu’un facteur premier p est trouvé, mémoriser p, diviser a par p, ce qui donne un nouveau nombre a, puis reprendre l’algorithme avec ce nouveau nombre ; si aucun diviseur n’est trouvé, c’est que a est premier ; l’ajouter à la liste ; la liste des nombres premiers ainsi constituée est la décomposition du nombre a initial en facteurs premiers ; en combinant ces facteurs de toutes les façons possibles, on obtient les diviseurs de a.
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