Grand nom de la recherche fondamentale, Nalini Anantharaman est la deuxième femme à être titulaire d'une chaire en mathématiques au Collège de France : celle de géométrie spectrale. Invitée au micro de Natacha Triou, elle revient sur son parcours et sur la naissance de cette branche des mathématiques, au croisement entre géométrie différentielle et théorie spectrale.
Visuel de la vignette : Zhengshun Tang / Getty et Marie Lévêque / Wikimédia Commons
#geometrie #mathématiques #science
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Nalini Anantharaman/5
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Résumé :
Dans sa leçon inaugurale, Anantharaman explique comment la notion de "spectre" en physique a rejoint celle de "valeur propre" en mathématiques dans les années 1920.
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Apparaissant dans la majorité des équations de la physique, l'opérateur de Laplace ou laplacien est couramment noté par la lettre grecque delta majuscule. Il porte le nom de Pierre-Simon de Laplace, l'un des scientifiques les plus importants ayant exercé au tournant du XIX* siècle. Dans les travaux de Laplace, l'opérateur qui porte désormais son nom intervient pour décrire le potentiel gravitationnel. L'opérateur de Laplace calcule la différence entre la valeur d'une fonction en un point et la moyenne de cette fonction sur les points voisins. La présence de cet opérateur exprime la tendance de la grandeur étudiée à vouloir s'équilibrer entre voisins.
En 1917, autrement dit avant la mécanique ondulatoire, Einstein pose la question de prédire géométriquement le spectre des systèmes qui ne sont pas complètement intégrables. Il insiste tout particulièrement sur le spectre des systèmes dits «ergodiques". Dans un système dynamique ergodique, à l'exception de la conservation de l'énergie, aucune autre contrainte ne vient confiner la trajectoire ; ainsi, les trajectoires visitent (pour la plupart d'entre elles) uniformément tout l'espace.
Ce nombre deux, c'est aussi la caractéristique d'Euler-Poincaré de la sphère: pour tout découpage d'une sphère en polygones, si I'on calcule la somme alternée du nombre de sommets, du nombre d'arêtes et du nombre de faces, on trouve toujours deux.
La théorie spectrale explique de manière merveilleuse comment le discret peut naître du continu : mêmne pour un modèle physique continu, les valeurs propres peuvent former un ensemble discret.
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