Récoltes et semailles, tome 2

« Récoltes et Semailles » sous-titré « Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien » est une collection de textes et d'essais du mathématicien Alexandre Grothendieck (1928-2014), finalement parue en deux tomes, réunis en un coffret de format poche (2023, Gallimard, Tel, 742 et 1998 p.).

Pour la partie bibliographique, je renvoie sur l'ouvrage de Philippe Douroux « Alexandre Grothendieck - Sur Les Traces du Dernier Génie Des Mathématiques » (2016, Allary, 272 p.). Je dois avouer que cet ouvrage n'est pas à la hauteur d'un journaliste d'investigation, ni d'ailleurs à celle du mathématicien. On pourra lire en parallèle le livre de Leila Schneps « Alexandre Grothendieck : A Mathematical Portrait » (2014, International Press of Boston, 307 p.). Ce sont treize portraits de personnes qui l'ont connu et côtoyé, qui éclairent, chacun à leur façon, un côté différent de l'homme ou du collègue.
En réalité, le découpage se fera suivant les deux parties de « Récoltes et Semailles », soit le tome I (les 400 premières pages), puis la partie « L'Enterrement (1 – 3) » des tomes I et II dont j'exclurai les sections purement mathématiques.
L'incipit est fort accueillant « A ceux qui furent mes amis / tant aux rares qui le sont restés / qu'à ceux venus nombreux faire chorus à mes Obsèques ». Ce qui parait normal, étant donné que l'auteur va traiter de son « enterrement », sous-titré « La Robe de l'Empereur de Chine ». Des grands « Cortèges » pour débuter, intitulés « Héritages et Héritiers », assez court suivi de « Pierre et les Motifs », avant d'aborder « le Beau Monde », puis « Les Enterrés ». On voit que le cortège est fortement hiérarchisé, et le tout est entrecoupé de notes.
Après un rappel des différents « objets », schéma, motif, puis yoga des motifs, toutes des définitions topologiques, on arrive au cortège B, celui de « Pierre et les Motifs ». On passe des orphelins aux motifs ou l'« enterrement d'une naissance ». Pierre, c'est évidemment le belge Pierre Deligne, qui se prétend « l'élève » de Grothendieck à l'IHES, et qui sera Medal Fields en 1978, puis prix Crafoord en 1988, l'année suivante de celle du maître.

Qu'est ce donc que ces fameux « motifs ». Il faut pour cela remonter aux conjonctures de Weil, formulées par André Weil. Elles découlent d'une théorie cohomologique « purement algébrique », soit une association entre un espace topologique et une suite de morphisme, par exemple l'algèbre ou la géométrie. Cela parait simple, mais il se trouve qu'une telle théorie n'est possible, d'où la notion de conjonctures. Cela provient de la nature essentiellement continue de la géométrie, opposé à une description discontinue des nombres. Grothendieck propose en 1964 dans une lettre à Jean-Pierre Serre, une théorie des « motifs ». Avec comme exemple, une analogie musicale mettant en évidence « la notion de “motif” associé à une variété algébrique ». Par ce terme, Grothendieck suggère « qu'il s'agit du “motif commun” (ou de la “raison commune”) sous-jacent à cette multitude d'invariants cohomologiques différents associés à la variété ». C'est presque moins abscons. Un motif serait alors une relation, à définir, entre un nombre, par exemple, et une courbe, le lien entre le continu et discontinu, qui permettrait de passer de l'un à l'autre. Pour prendre un autre exemple, suggéré par Grothendieck dans ses années d'enfance, c'est la transformation qui fait passer une prose de deux lignes avec deux rimes successives, à deux vers. Transformation simple, cohomologie à placer dans les diners en ville. « Jusqu'au jour où quelqu'un m'a expliqué qu'il y avait un "truc" tout simple ; que la rime, c'est tout simplement quand on fait se terminer par la même syllabe deux mouvements parlés consécutifs, qui du coup, comme par enchantement, deviennent des vers ». C'est le passage entre les quelques notes obsédantes et les paroles « Macumba » de ce tube des années disco. Là, c'était plus facile, car les autres paroles du tube sont en nombre réduit. Soit un ensemble de paroles proche de l'ensemble vide, pour le définir, dans les mêmes diners en ville.
Bon, une excellente chose de faite, avec une démonstration au doigt mouillé, digne d'un budget ministériel. Il serait d'ailleurs intéressant de faire le parallèle, le morphisme donc, entre un budget ministériel et le budget de la ménagère de 50 ans.
Ceci dit, on n'est pas sorti du « cortège B Pierre et les Motifs » il y a encore en gros 70 pages sur cette douloureuse affaire du maître et de son élève. Comme il l'écrit « l'essentiel du travail de description et de décantation qui était à faire, sur le sujet qui m'occupe, est achevé ». Il est avéré que ces relations maître-élève sont quelquefois difficiles, souvent empreintes d'un chargé émotionnel intense.

« Il me faut d'abord donner quelques explications préliminaires purement géométriques, sur la combinatoire de l'icosaèdre gauche et sur la notion de biicosaèdre gauche ». Voilà une phrase qui, comme certains messages de Radio Londres, peut porter à confusion. Heureusement, « Ubu Cocu » de Alfred Jarry (2011, Editions de Londres, 54 p.) apporte la solution. La pataphysique mène à tout. Se souvient-on encore de la séance de « L'Association Française pour l'Avancement des Sciences » du 1er Novembre 1907, au cours de laquelle Henri Poincaré a donné une conférence remarquable « Sur un invariant des polyèdres ». Avec pour exemple une sphère dont la température n'est pas uniforme. Maximale au centre, elle diminue à mesure qu'on s'en éloigne, pour se réduire à zéro à la surface de la sphère. Les polyèdres mobiles, isothermes à l'intérieur de la sphère, sont donc de plus en plus petits, mais leurs côtés ne peuvent jamais atteindre la sphère limite. Leur géométrie diffère de la nôtre, celle de l'étude des mouvements des solides invariables. On les distingue par des changements de position qui sont en réalité des « déplacements non euclidiens ». On est dans une géométrie non euclidienne, là où les parallèles se rejoignent à l'infini.
Mais, ce n'était pas de cette conférence dont je voulais parler, mais de celle qui la précédait, le même jour. Celle de Paul P. Achras, de Rennes intitulée « Sur les Moeurs des Polyèdres ». Malheureusement, le texte n'en n'est plus disponible. Par contre, on connait relativement bien le parcours de Paul Achras. Condisciple de Albert Jarry au Lycée de Rennes, il élevait des polyèdres en cage en vue d'une thèse. « O mais c'est que, voyez-vous bien, je n'ai point sujet d'être mécontent de mes polyèdres, ils font des petits toutes les six semaines, c'est pire que des lapins. Et il est bien vrai de dire que les polyèdres réguliers sont les plus fidèles et les plus attachés à leur maître ; sauf que l'Icosaèdre s'est révolté ce matin et que j'ai été forcé, voyez-vous bien, de lui flanquer une gifle sur chacune de ses faces. Et comme ça c'était compris. Et mon traité, voyez-vous bien, sur les moeurs des polyèdres qui s'avance : n'y a plus que vingt-cinq volumes à faire ». Pour ce qui est des violences faites à l'icosaèdre, il convient de remonter à Platon. Ce solide présente 20 faces constituées de triangles équilatéraux isométriques, 12 sommets et 30 arêtes. Platon le faisait correspondre à l'eau. Plus tard, Alfred Jarry le tenait pour un poison, conséquence de cette analogie. En effet il est « si dissolvant et corrosif [...] qu'une goutte versée dans un liquide pur, l'absinthe par exemple, le trouble ». On comprend mieux les commentaires de Paul Achras.
Donc, non pas un simple polyèdre, mais « un biicosaèdre, une paire de deux structures icosaèdrales […], l'une jouant le rôle yin, l'autre le rôle yang ». Si ce n'est pas pour en faire de l'élevage, que l'on m'explique. Ce n'est plus de l'isomorphisme, mais de la cosanguinité.
Dans « le Rêve et le Rêveur », il énonce ses idées sur la création. Il part pour cela de la « rédaction en forme », qui est une « étape importante du travail mathématique ». C'est un mode déductif par excellence, mais qui s'adresse essentiellement à un auditoire déjà averti. D'ailleurs, il n'est pas tendre avec ses collègues, « de l'instituteur au professeur d'université » chez qui il constate « L'ignorance complète de l'existence et de la nature d'un tel travail est chose quasiment universelle ». Cela, au moins, a le mérite d'être clair. Reste pour lui « une chose tout à fait mal vue dans les milieux de gens sérieux, comme nous autres scientifiques notamment. Je veux parler du rêve ». Evidemment, pour un scientifique, parler d'onirisme dérange. Et pourtant…
« The Art of Thought » (1926) de Graham Wallas est un petit livre, non traduit à ma connaissance (réédition 2014, Solis Press, 204 p.). C'est l'ouvrage de référence à propos de la créativité dans lequel il définit les quatre phases du processus créatif. Ce sont : la préparation, l'incubation, l'illumination et la vérification. Cette succession d'étapes est vue comme une alternance entre différents modes de pensée.
Le premier pas est de définir ce que l'on cherche. On pose les questions pour mieux cerner le projet. Cela parait évident, mais c'est souvent effectué a posteriori, alors que les travaux ont déjà commencé. le hasard à lui seul, ne crée rien de bien probant ex nihilo. Au même titre que le hasard, la sérendipité, c'est-à-dire la fortuité de certaines découvertes, est rarement à la base des grandes découvertes. C'est sûrement enfoncer des portes ouvertes. Suit une phase d'incubation, c'est un stade de tranquillité. La grande idée est survenue. Il faut, comme toute graine, lui laisser le temps de grandir. Après pluviôse et ventôse, vient germinal. La grande idée a été un instant d'excitation. Puis vient l'illumination, soudainement, une fois passée l'excitation du début. C'est à ce stade que l'on fait un premier tri entre les bonnes idées et les autres. On n'en n'est pas encore au stade de la faisabilité, mais déjà se mettent en place des limites possibles. Manque de compétences, de moyens techniques, peu de fiabilité espérée.et finalement arrive le stade de la vérification. C'est le stade de l'évaluation et de la critique de ce qui a été ou va être réalisé. Stade de la poursuite ou non de l'idée. Il faut aussi savoir reconnaitre ses limites et stopper le projet lorsqu'il en est encore temps
Le stade du rêve de Grothendieck est équivalent au stade de l'illumination. Il n'est pas rare, en effet, que la « Grande Idée » survienne pendant une période de calme, voire de somnolence, alors que le cerveau est en activité latente. de façon inexpliquée, c'est justement cette période de rêve qui est occultée dans notre société moderne. « Il est vrai aussi que plus personne "chez nous" ne sait allumer un feu, ni ose dans sa maison voir naître son enfant, ou mourir sa mère ou son père - il y a des cliniques et des hôpitaux qui sont là pour ça ». D'où la perte du rêve, qui traduit une chose plus grave « Il s'agirait plutôt d'une méfiance profonde, qui recouvre une peur ancestrale - la peur de connaître ». C'est cette peur de connaître qui rend la société inapte à la rêverie, donc à la créativité. Ce thème est développé, sous sa forme mathématique dans « Esquisse d'un Programme », écrit pour son admission au CNRS en 1972. Il y développe les 10 grands thèmes qui forment le squelette de la géométrie algébrique et de la géométrie des surfaces. Rapport très technique, dans lequel il introduit par exemple un chapitre « Corps de nombres associés à un dessin d'enfant ». Traduit en langage vernaculaire, ce sont des objets combinatoires permettant d'énumérer de manière simple les classes d'isomorphisme. Par exemple, le degré d'un dessin d'enfant est le nombre d'arêtes qui le composent et leur nombre correspond à la valence d'un sommet. On constate qu'il y a tout un jargon sous-jacent à cette théorie, Jargon plus qu'ésotérique qui camoufle la portée de ces définitions. de même, un chapitre « A la Poursuite des Champs » initie les principes d'homotopie, ou déformation continue entre deux applications. Il y en a pour environ 600 pages dans la section explicative. Avec comme exemple, un lacet qui se déforme de façon continue, quoique fixé en ses deux extrémités. Comme quoi, on part à la découverte d'une idée sur la création, mais très vite, on dérive sur une explication topologique qui fait perdre le fil initial. On pourra consulter, mais sans savoir a priori si cela aide vraiment, l'ouvrage de Leila Schneps et Pierre Lochak, « Geometric Galois Actions » (1997, London Mathematical Society, Lecture Notes #242, Cambridge University Press, 48 p.). Les auteurs reviennent sur l'oeuvre de Grothendieck, jugeant et prolongeant celle du mathématicien français tué en duel trop tôt pour une « infâme coquette ».

« La Clé des Songes - Dialogue avec le Bon Dieu ». C'est un texte de 345 pages, daté de 1986, censé être une réflexion sur la nature de la création (1987, Université Paris 6, Grothendieck Circle, 1027 p.). S'y ajoutent les « Notes pour la Clef des Songes », de 691 pages écrites entre juin 1987 et avril 1988. Selon Leila Schneps, douze chapitres sont prévus à l'origine, mais seulement sept existent réellement. Actuellement personne ne sait si les cinq autres chapitres n'ont jamais été écrits, ou ont été écrits et détruits. Grothendieck considérait « La Clef des Songes » comme le troisième volet d'une trilogie, avec « L'Eloge d'Inceste » comme première partie et « Récoltes et Semailles » comme la seconde. Il voulait examiner la question de la créativité selon les trois niveaux de l'existence humaine : le physique, l'intellectuel et le spirituel.
Il commence donc par les rêves. « Un thème qui me paraît plus crucial que tout autre est celui du rêve, abordé enfin dans la dimension spirituelle qui lui revient, et débarrassé de la gangue pseudo-scientifique dont il a été encombré et qui a trop longtemps fait obstacle à une véritable intelligence du rêve et de la nature du rêve ». Il poursuit avec la solitude qui l'accompagne. « Mais surtout, la voie créatrice est voie solitaire. C'est là ce qui effraye. Et cette grande peur de créer, cette grande peur d'être soi-même, n'est autre que la peur d'être seul face à tous ».
Il poursuit par une déclaration selon laquelle la connaissance de soi est la chose la plus importante et la plus décisive dans une vie spirituelle. « Sans conscience de soi, il n'y a ni compréhension de l'autre, ni du monde des hommes, ni de l'oeuvre de Dieu dans l'homme ».
Certains rêves contiennent des messages particulièrement importants, mais de nombreuses personnes sont incapables de reconnaître ces messages par inertie ou par peur de changement. Il arrive cependant à la conclusion que Dieu existe et qu'il est le Rêveur. C'est le titre du second chapitre « Dieu est le Rȇveur ». Puis, il aborde la question de savoir comment il a lui-même trouvé le chemin vers Dieu et vers la foi en Dieu. C'est le chapitre 3 « le Voyage à Memphis (1) : L'Errance ». On sait, et il l'a écrit, que ses parents étaient des non-croyants convaincus et athées. « Mes parents étaient athées. Pour eux les religions étaient des survivances archaïques, et les Eglises et autres institutions religieuses des instruments d'exploitation et de domination des hommes ». Son enfance s'est déroulée dans un environnement areligieux. Son « père était issu d'une famille juive pieuse. […]. Il avait même un grand-père rabbin ». Mais à 14 ans, « il prend le large pour rejoindre un des groupes anarchistes ». Sa « mère est née en 1900 à Hambourg, d'une famille protestante ». A 17 ans elle « se dégage de la foi naïve et sans problèmes de son enfance, qui ne lui donnait aucune réponse aux questions que lui posait sa propre vie ».
Il lui faut attendre « les vingt-cinq années de ma vie, entre 1945 et 1970, où celle-ci était entièrement centrée sur mon travail mathématique, auquel je consacrais la quasi-totalité de mon énergie ». de façon surprenante, Dieu et la topologie ne sont pas très copains. « le fait que deux plus deux égale quatre n'est pas un décret de Dieu, dans le sens où Il serait libre de changer cela en deux plus deux égale trois ou cinq ». Où va-t-on ?
« Seul Dieu se tait. Et quand Il parle, c'est à voix si basse que personne jamais ne L'entend »

Un rapide coup d'oeil sur les têtes de chapitres, sur les premières lignes des paragraphes, ainsi que sur la table des matières, pour se rendre compte que l'on reste sur les constats redondants et soporifiques du premier tome. Rien donc de nouveau... Pat